Use o método das frações parciais para resolver as integrais a seguir
\int \frac{4 x^{2}-3 x}{x^{3}-2 x^{2}+x-2} d x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método de frações parciais. O que precisamos fazer é fatorar o denominador em fatores de primeiro ou segundo grau, escrever a fração como soma de parcelas simples e depois integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador
Agrupando em pares, temos
Logo a integral fica
Passo 3
Propomos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos
Passo 4
Expandindo o lado direito e igualando coeficientes a
Portanto o sistema é
Da terceira equação vem dá . E em fica
Logo e .
Passo 5
Substituindo os valores, a integral se separa assim:
integral 4x^2-3x(x^2+1)(x-2),dx = integral 2x-2,dx + integral 2x+1x^2+1,dx