Use o método das frações parciais para resolver as integrais a seguir
\int \frac{4 x^{2}-3 x}{x^{3}-2 x^{2}+x-2} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 4x^2-3xx^3-2x^2+x-2,dx
usando o método de frações parciais. O que precisamos fazer é fatorar o denominador em fatores de primeiro ou segundo grau, escrever a fração como soma de parcelas simples e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador
x^3-2x^2+x-2
Agrupando em pares, temos
x^3-2x^2+x-2 = x^2(x-2) + 1,(x-2) = (x^2+1)(x-2)
Logo a integral fica
integral 4x^2-3x(x^2+1)(x-2),dx

Passo 3

Propomos a decomposição em frações parciais:
4x^2-3x(x^2+1)(x-2) = Ax-2 + Bx + Cx^2+1
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x-2), obtemos
4x^2-3x = A(x^2+1) + (Bx + C)(x-2)

Passo 4

Expandindo o lado direito e igualando coeficientes a
Portanto o sistema é
Da terceira equação vem . E em fica
Logo e .

Passo 5

Substituindo os valores, a integral se separa assim:
integral 4x^2-3x(x^2+1)(x-2),dx = integral 2x-2,dx + integral 2x+1x^2+1,dx
Agora integramos cada parte:
integral 2x-2,dx = 2lnl|x-2r|,
integral 2xx^2+1,dx = lnl(x^2+1r),
integral 1x^2+1,dx = arctan x
Somando tudo, obtemos a primitiva.

Resposta

2lnl|x-2r| ;+;lnl(x^2+1r);+;arctan x ;+;C

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