Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral integral duplasigmalang<= r o t F, nrang<= d S numa integral de linha e calcule
F(x, y, z)=(-y^2, x^2, z^2), sigma a superfície z=x+y+2 e x^2+y^24 <= 1, sendo n a normal unitária apontando para cima.

Passo 1

O enunciado quer que a gente use o Teorema de Stokes para transformar
em uma integral de linha sobre a fronteira . Aqui
é a parte do plano acima da região elíptica
e é a normal unitária apontando para cima. Vamos então achar , parametrizar, e calcular
.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada por e sua fronteira orientada adequadamente, vale
Como aponta para cima, será percorrida no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 3

A curva partialsigma é justamente a interseção do plano z=x+y+2 com a elipse
x^2+y^24=1
Vendo de cima (projeção no plano xy), a orientação anti-horária corresponde a t de 0 a 2pi.

Passo 4

Parametrizamos partialsigma por
r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r) =l(cos t,;2sin t,;cos t+2sin t+2r), 0<= t<=2pi
Então
dr=l(-sin t,;2cos t,;-,sin t+2cos tr),dt

Passo 5

Em r(t) temos
Fl(r(t)r) =l(-y^2,;x^2,;z^2r) =l(-4sin^2t,;cos^2t,;(cos t+2sin t+2)^2r)
Logo o produto escalar é
Fl(r(t)r)cdot dr = -4sin^2tl(-sin tr),dt + cos^2tl(2cos tr),dt + (cos t+2sin t+2)^2l(-sin t+2cos tr),dt
Isto é
Fcdot dr = l(4sin^3t+2cos^3t+u^2,u'r),dt,
onde u(t)=cos t+2sin t+2 e u'(t)=-sin t+2cos t.

Passo 6

A integral total é
integral0^2pil(4sin^3t+2cos^3tr),dt ;+; integral0^2piu^2,u',dt
  1. integral0^2pisin^3t,dt=0 e integral0^2picos^3t,dt=0 por simetria de seno e cosseno.
  2. Note que
integral0^2piu^2,u',dt =13integral0^2piddtl(u^3r),dt =13l[u(2pi)^3-u(0)^3r]
Mas u(0)=cos0+2sin0+2=3 e u(2pi)=3, logo essa diferença vale zero.
Portanto toda a integral de linha é 0.

Resposta

O valor de é .

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