Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule
a superfície
e
, sendo
a normal unitária apontando para cima.
Passo 1
O enunciado quer que a gente use o Teorema de Stokes para transformar
em uma integral de linha sobre a fronteira
. Aqui
e
é a normal unitária apontando para cima. Vamos então achar
, parametrizar, e calcular
.
Passo 2
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada por
e sua fronteira orientada adequadamente, vale
Como
aponta para cima,
será percorrida no sentido anti-horário visto de cima.
Passo 3
A curva
é justamente a interseção do plano
com a elipse
Vendo de cima (projeção no plano
), a orientação anti-horária corresponde a
de
a
.
Passo 4
Parametrizamos
por
Então
Passo 5
Em
temos
Logo o produto escalar é
Isto é
onde
e
.
Passo 6
A integral total é
-
e por simetria de seno e cosseno. - Note que
Mas
e
, logo essa diferença vale zero.
Portanto toda a integral de linha é
.
Resposta
O valor de é
.