O volume máximo possível de uma lata cilíndrica, sem tampa, que pode ser feita com 27 \pi \mathrm{cm}^{2} de metal é:
(a) 9 \pi \mathrm{~cm}^{3}
(b) 18 \pi \mathrm{~cm}^{3}
(c) 27 \pi \mathrm{~cm}^{3}
(d) 58 \pi \mathrm{~cm}^{3}
(e) 81 \pi \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para maximizar o volume de uma lata cilíndrica sem tampa, usando um metal de área fixa igual a 27\pi,cm².
O conteúdo matemático aqui é otimização de função com restrição, que faremos expressando a altura h em função do raio r pela equação da área disponível e depois maximizando o volume via derivada.

Passo 2

A área do cilindro sem tampa é a soma da área lateral com a área da base. Logo,
2\pi r h + \pi r^2 = 27\pi.
Isolando h em função de r:
2\pi r h = 27\pi - \pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{27 - r^2}{2r}.

Passo 3

O volume do cilindro é
V = \pi r^2 h.
Substituindo h:
V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{27 - r^2}{2r} = \frac{\pi}{2}\,(27r - r^3).
Para maximizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
V'(r) = \frac{\pi}{2}\,(27 - 3r^2) \quad\Longrightarrow\quad 27 - 3r^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad r = 3\\ (\text{cm}).

Passo 4

Com r=3,cm, a altura é
h = \frac{27 - 9}{2\cdot3} = \frac{18}{6} = 3\\ (\text{cm}).
O volume máximo fica
V_{\max} = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 27\pi\\ (\text{cm}^3).

Resposta

(c) 27\pi,cm³.

Exercícios relacionados