(3,0 puntos) Considere o sistema 3 \times 3 \mathbf{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right) \mathbf{y},
(a) Determine os autovalores e discuta se há necessidade de vetores generalizados.
(b) (1,5 \mathrm{pts}) Encontre a solução geral do sistema (escreva explicitamente as componentes em função de t ).
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\mathbf y'=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&3&1\\\ 0&0&3\end{pmatrix}\mathbf y,
ou seja, A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&3&1\\\ 0&0&3\end{pmatrix}. O conteúdo é diagonalização/Jordan de matrizes e solução de sistemas lineares por autovalores. Vamos (a) encontrar autovalores e ver se há bloco de Jordan não-trivial, depois (b) usar cadeias de autovetores para escrever a solução geral.
Passo 2
Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo
vemos que a primeira equação impõe v_1=0 e a segunda v_3=0, sobrando v_2 livre. Assim \dim\ker(A-I)=1<2, há apenas um autovetor para \lambda=1 e precisamos de um vetor generalizado.
Passo 4
Para \lambda=\tfrac{2}{3} resolvemos (A-\tfrac{2}{3}I)\mathbf v=0. Isso dá
Procuramos \mathbf w tal que (A-I)\mathbf w=\mathbf v^{(2)}. Se \mathbf w=(w_1,w_2,w_3),
as equações são -\tfrac{1}{3}w_1=0, \tfrac{1}{3}w_3=1, sem restrição em w_2. Assim w_1=0, w_3=3 e escolhemos w_2=0. Logo