Obtenha o ponto da reta x=y=z que equidista dos pontos P(1,2,1) e Q(-1,0,2).

Passo 1

O enunciado quer o ponto sobre a reta x=y=z que fica à mesma distância de P(1,2,1) e de Q(-1,0,2). O conteúdo aqui é usar a fórmula da distância em R^3 e igualar as distâncias (ou suas quadraturas) para encontrar o parâmetro que define o ponto.

Passo 2

Parametrizamos a reta x=y=z por
R(t) = (t,t,t)
Chamemos de DP a distância de R(t) a P e de DQ a distância de R(t) a Q. Em vez de trabalhar com raízes, vamos igualar os quadrados das distâncias:
DP^2 = (t-1)^2 + (t-2)^2 + (t-1)^2,
DQ^2 = (t+1)^2 + (t-0)^2 + (t-2)^2

Passo 3

Expandindo cada um:
DP^2 = 2(t-1)^2 + (t-2)^2 = 2l(t^2 -2t+1r) + l(t^2 -4t+4r) = 3t^2 -8t +6,
DQ^2 = (t+1)^2 + t^2 + (t-2)^2 = l(t^2+2t+1r) + t^2 + l(t^2-4t+4r) = 3t^2 -2t +5

Passo 4

Como queremos DP = DQ, impomos
DP^2 = DQ^2 Longrightarrow 3t^2 -8t +6 = 3t^2 -2t +5
Cancelando 3t^2 e agrupando termos de t temos
-8t +6 = -2t +5 Longrightarrow -6t = -1 Longrightarrow t = tfrac16

Resposta

O ponto buscado é
l(tfrac16,,tfrac16,,tfrac16r)

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