Obtenha as raízes das seguintes equações fatorando-as em produtos y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right):
y=2 x^{2}+13 x+6

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática y = 2x^{2} + 13x + 6 e pede que a expressemos no formato
y = a\,(x - x_{1})\,(x - x_{2})
identificando as raízes x_{1} e x_{2}. Para isso, vamos usar o discriminante e a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a = 2,\quad b = 13,\quad c = 6.
O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = 13^{2} - 4\cdot2\cdot6 = 169 - 48 = 121.

Passo 3

Como \Delta = 121 > 0, há duas raízes reais. Pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{121}}{2\cdot2} = \frac{-13 \pm 11}{4}.
Logo
x_{1} = \frac{-13 + 11}{4} = -\tfrac12, \qquad x_{2} = \frac{-13 - 11}{4} = -6.

Passo 4

Substituindo em y = a\,(x - x_{1})\,(x - x_{2}) com a=2, x_{1}=-\tfrac12, x_{2}=-6, temos
y = 2 \bigl(x - (-\tfrac12)\bigr)\bigl(x - (-6)\bigr) = 2\,(x + \tfrac12)\,(x + 6).

Resposta

As raízes são
x_{1} = -\tfrac12,\quad x_{2} = -6
e a fatoração fica
y = 2\,(x + \tfrac12)\,(x + 6).

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