Obtenha as raízes das seguintes equações fatorando-as em produtos y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right):
y=3 x^{2}-7 x-6

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a função
y = 3x^{2} - 7x - 6
no formato
y = a\,(x - x_{1})\,(x - x_{2})
e, a partir disso, obter as raízes x_{1} e x_{2}. O conteúdo aqui é resolução de equação quadrática de segundo grau e fatoração de polinômio.

Passo 2

Para encontrar as raízes, igualamos y a zero, obtendo a equação
3x^{2} - 7x - 6 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante \Delta usando
\Delta = b^{2} - 4ac,
com a = 3, b = -7 e c = -6:
\Delta = (-7)^{2} - 4\cdot3\cdot(-6) = 49 + 72 = 121.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{6}.
Logo, as duas raízes são
x_{1} = \frac{7 + 11}{6} = 3, \qquad x_{2} = \frac{7 - 11}{6} = -\frac{2}{3}.

Passo 5

Agora escrevemos a fatoração no formato pedido:
y = a\,(x - x_{1})\,(x - x_{2}) = 3\bigl(x - 3\bigr)\Bigl(x + \tfrac{2}{3}\Bigr).
Para simplificar, podemos distribuir o 3 em um dos fatores:
y = (3x + 2)\,(x - 3).

Resposta

As raízes são
x_{1} = 3 \quad\text{e}\quad x_{2} = -\tfrac{2}{3},
e a fatoração é
y = 3(x - 3)\Bigl(x + \tfrac{2}{3}\Bigr) \quad\text{ou}\quad y = (3x + 2)\,(x - 3).

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