Obtenha uma representação em série de potências em torno de a (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
f(x)=x^2 cos (x^2), a=0.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências em torno de zero (Maclaurin) de f(x)=x^2,cos(x^2) e o intervalo de convergência. Vamos usar a série de Taylor da função cos u aplicada a u=x^2.

Passo 2

Começamos lembrando que a série de Taylor de cos u em torno de u=0 é
cos u=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,u^2n
Aqui temos u=x^2, então
cos(x^2)=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,(x^2)^2n=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^4n

Passo 3

Agora multiplicamos por x^2 para obter f(x):
x^2cos(x^2)=x^2sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^4n=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^4n+2

Passo 4

A série obtida é da forma
f(x)=sumn=0^infty an,x^4n+2,com an=(-1)^n(2n)!
Como a série de cos u tem raio de convergência infinito, essa também converge para todo xinR.

Resposta

x^2cos(x^2)=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^4n+2,intervalo de convergência: (-infty,infty)ê

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