Obtenha os seguintes limites usado a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{5 x}-1}{3 x}

Passo 1

Estamos querendo calcular
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{5x}-1}{3x}
Isso envolve a Regra de L’Hospital, que é usada quando uma expressão dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Primeiro verificamos a forma quando x\to0:
e^{5x}-1\;\longrightarrow\;e^0-1=0
e
3x\;\longrightarrow\;0,
logo temos um caso \tfrac{0}{0} e podemos derivar numerador e denominador separadamente:
derivada de e^{5x}-1 é 5e^{5x}
derivada de 3x é 3.
Pela Regra de L’Hospital, o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{5e^{5x}}{3}.

Passo 3

Agora o novo limite é contínuo, então basta substituir x=0:
\frac{5e^{5\cdot0}}{3} =\frac{5e^0}{3} =\frac{5\cdot1}{3} =\frac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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