Obtenha os seguintes limites usado a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \operatorname{sen}\left[\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln (x)}\right]

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}\sin\Bigl[\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\Bigr].
Aqui o conteúdo é aplicação da Regra de L’Hospital para tratar uma forma indeterminada do tipo \infty-\infty. Primeiro vamos achar
\displaystyle L=\lim_{x\to1^{+}}\Bigl[\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\Bigr]
e depois usar a continuidade de \sin.

Passo 2

Reescrevemos a diferença como única fração:
\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x} =\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\,\ln x}.
No limite x\to1^+ tanto o numerador x\ln x-(x-1) quanto o denominador (x-1)\ln x vão a zero, obtendo-se uma forma 0/0.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital a
\displaystyle \frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x}.
Derivando numerador e denominador em relação a x:
-- Numerador:
\frac{d}{dx}[\,x\ln x-(x-1)\,] =\ln x +1-1=\ln x.
-- Denominador:
\frac{d}{dx}[(x-1)\ln x] =\ln x +\frac{x-1}{x}.
Logo
L =\lim_{x\to1^+} \frac{\ln x}{\ln x +\frac{x-1}{x}}.

Passo 4

Ainda temos a forma 0/0. Aplicando L’Hospital de novo:
-- Derivada do numerador \ln x é 1/x.
-- Derivada do denominador \ln x +\frac{x-1}{x} é
\frac1x +\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x-1}{x}\Bigr) =\frac1x +\frac{x-(x-1)}{x^2} =\frac1x +\frac1{x^2}.
Portanto
L =\lim_{x\to1^+} \frac{1/x}{\,1/x +1/x^2\,} =\frac{1}{1+1} =\tfrac12.

Passo 5

Como \sin é contínua,
\lim_{x\to1^{+}}\sin\Bigl[\tfrac{x}{x-1}-\tfrac{1}{\ln(x)}\Bigr] =\sin\bigl(\lim_{x\to1^+}[\dots]\bigr) =\sin\bigl(\tfrac12\bigr).

Resposta

\displaystyle \sin\bigl(\tfrac12\bigr)

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