Questão 3. Dada a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(2 y, 4 x).
(a) (1.5) pontos, Encontre os autovalores de T.
(b) (1.5) Pontos. Encontre os autoespaços de T, caso exista.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (2y,4x).
Queremos (a) os autovalores de T e (b) os autoespaços correspondentes. Para isso, vamos escrever T na base canônica como matriz A, calcular o polinômio característico e, em seguida, resolver (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica,
A = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[6pt] 4 & 0\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 2 \\[3pt] 4 & -\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2 - 8.
Logo, resolvendo
\lambda^2 - 8 = 0
temos
\lambda = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}.]

Passo 3

Para \lambda = 2\sqrt{2}\), resolvemos \[(A - 2\sqrt{2}\,I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 2y = 2\sqrt{2}\,x,\\\\ 4x = 2\sqrt{2}\,y. \end{cases}
Da primeira equação (y = \sqrt{2},x], e a segunda é equivalente. Assim
v = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1\\sqrt{2}\end{pmatrix},
e o autoespaço é
E_{2\sqrt{2}} = \Span\!\Bigl\{\,(1,\sqrt{2})\Bigr\}.

Passo 4

Para \lambda = -2\sqrt{2}\), o sistema \[\begin{cases} 2y = -2\sqrt{2}\,x,\\\\ 4x = -2\sqrt{2}\,y \end{cases}
dá (y = -\sqrt{2},x]. Logo
v = x\begin{pmatrix}1\\\ -\,\sqrt{2}\end{pmatrix}
e
E_{-2\sqrt{2}} = \Span\!\Bigl\{\,(1,-\sqrt{2})\Bigr\}.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda = 2\sqrt{2} e \lambda = -2\sqrt{2}.
(b) Os autoespaços são
E_{2\sqrt{2}} = \Span\!\{(1,\sqrt{2})\}, \quad E_{-2\sqrt{2}} = \Span\!\{(1,-\sqrt{2})\}.

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