Questão 3. Dada a aplicação
definida por
.
(a) (1.5) pontos, Encontre os autovalores de
.
(b) (1.5) Pontos. Encontre os autoespaços de
, caso exista.
(a) (1.5) pontos, Encontre os autovalores de
(b) (1.5) Pontos. Encontre os autoespaços de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos (a) os autovalores de
e (b) os autoespaços correspondentes. Para isso, vamos escrever
na base canônica como matriz
, calcular o polinômio característico e, em seguida, resolver
.
Passo 2
Na base canônica,
O polinômio característico é
Logo, resolvendo
temos
Passo 3
Para
Da primeira equação (y = \sqrt{2},x], e a segunda é equivalente. Assim
e o autoespaço é
e o autoespaço é
Passo 4
Para
dá (y = -\sqrt{2},x]. Logo
e
e
Resposta
(a) Os autovalores são
e
.
(b) Os autoespaços são
(b) Os autoespaços são