Questão 4. Dada a matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 2 & -2 \end{array}\right)
(a) (1.5) pontos, Determine os valores próprios de A.
(b) (1.5) pontos. Encontre os autoespaços de A, caso exista.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}
e pede (a) os valores próprios (autovalores) de A e (b) os autoespaços correspondentes.
Para isso, vamos usar o polinômio característico
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
e em seguida resolver (A - \lambda I)x = 0 para cada raiz \lambda.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
p(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2\\\\ 2 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - 2\cdot 2.
Expandindo,
(1-\lambda)(-2-\lambda) - 4 = (\!-2 - \lambda +2\lambda + \lambda^2) - 4 = \lambda^2 + \lambda - 2 - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6.

Passo 3

Igualando p(\lambda)=0, temos
\lambda^2 + \lambda - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -3.

Passo 4

Para \lambda_1 = 2, resolvemos
(A - 2I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1-2 & 2\\\\ 2 & -2-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira linha dá -x + 2y = 0, ou seja x = 2y. Assim
E_{2} = \bigl\{\,y\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}\mid y\in\mathbb{R}\bigr\} =\text{span}\bigl\{\,(2,1)\bigr\}.

Passo 5

Para \lambda_2 = -3, resolvemos
(A + 3I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1+3 & 2\\\\ 2 & -2+3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira linha dá 4x + 2y = 0, ou seja y = -2x. Logo
E_{-3} = \bigl\{\,x\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}\mid x\in\mathbb{R}\bigr\} =\text{span}\bigl\{\,(1,-2)\bigr\}.

Resposta

(a) Os valores próprios são \lambda = 2 e \lambda = -3.
(b) Os autoespaços são
E_{2} = \text{span}\{(2,1)\}, \qquad E_{-3} = \text{span}\{(1,-2)\}.

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