Obtenha a seleção geral das equações que se seguem. Mostre as etapas da derivação e verifique suas respostas por substituição
y^prime+(x+2) y^2=0

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a EDO
y' + (x+2),y^2 = 0.
O conteúdo é resolução de equação diferencial de variáveis separáveis, pois podemos escrever
dydx = -(x+2),y^2
Vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy^2 = -(x+2),dx
e a partir daí vamos integrar ambos os lados.

Passo 3

Integramos cada membro:
integral y^-2,dy = integral -(x+2),dx
-,y^-1 = -x^22 - 2x + C

Passo 4

Multiplicando por -1 e renomeando a constante de integração, obtemos
1y = x^22 + 2x + C
Logo a solução geral é
y(x) = 1x^22 + 2x + C

Passo 5

Para verificar, defina G(x)=tfracx^22+2x+C, de modo que y=G^-1. Então
y' = -G'G^2 = -x+2G^2
e
y' + (x+2),y^2 = -x+2G^2 + (x+2),1G^2 = 0,
confirmando que a família de curvas encontra a solução da EDO original.

Resposta

y(x) = 1x^22 + 2x + C

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