Obtenha a seleção geral das equações que se seguem. Mostre as etapas da derivação e verifique suas respostas por substituição
y^prime=(y+9 x)^2 (y+9 x=v)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = (y + 9x)^2
fazendo a substituição
v = y + 9x
O conteúdo usado será derivação de v, separação de variáveis e integração, além de reverter a substituição para obter y(x).

Passo 2

Derivando v = y + 9x em função de x
dvdx = y' + 9
Como y' = dvdx - 9, a equação y' = (y+9x)^2 vira
dvdx - 9 = v^2 Longrightarrow dvdx = v^2 + 9

Passo 3

Agora separamos variáveis:
integral dvv^2 + 9 = integral dx
Sabendo que integral dvv^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracvar), com a=3 obtemos
13arctan!l(tfracv3r) = x + C
Multiplicando por 3,
arctan!l(tfracv3r) = 3x + C1

Passo 4

Aplicando a tangente em ambos os lados dá
v3 = tanl(3x + C1r) Longrightarrow v = 3,tanl(3x + C1r)

Passo 5

Voltando à variável y, como v = y + 9x, temos
y + 9x = 3,tanl(3x + C1r) Longrightarrow y(x) = 3,tanl(3x + C1r) - 9x

Passo 6

Verificação por substituição:
Calculamos
y'(x) = 3cdotsec^2l(3x + C1r)cdot3 ;-;9 = 9,sec^2l(3x + C1r);-;9
e
l(y+9xr)^2 = l(3tan(3x + C1)r)^2 = 9,tan^2(3x + C1)
Como sec^2theta -1 = tan^2theta, temos
9,sec^2(3x + C1) -9 = 9l(sec^2(3x + C1)-1r) =9,tan^2(3x + C1),
logo y' = (y+9x)^2 está satisfeita.

Resposta

boxedy(x) = 3,tanl(3x + Cr);-;9x,
onde C é a constante arbitrária de integração.

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