Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x infty e^xx^n

Passo 1

Aqui a ideia é calcular
limxtoinftye^xx^n
usando a regra de L’H^opital. O conte\u00fado principal envolve reconhecer a forma indeterminada tfracinftyinfty e aplicar sucessivamente a regra at’e simplificar o polin^omio no denominador.

Passo 2

Quando xtoinfty, tanto e^x quanto x^n tendem a infinito, ent~ao
e^xx^n
\u00e9 da forma tfracinftyinfty. Podemos, portanto, aplicar a regra de L’H^opital, que diz que
limxtoinftyf(x)g(x) = limxtoinftyf'(x)g'(x)
quando surgir tfracinftyinfty.

Passo 3

Derivando numerador e denominador uma vez, obtemos
limxtoinftye^xn,x^,n-1
Ainda é tfracinftyinfty, então aplicamos de novo.

Passo 4

Cada aplicação reduz o expoente de x em 1 e multiplica o denominador por um fator. Depois de n aplicações chegamos a
limxtoinftye^xn,(n-1),(n-2)cdots1 = limxtoinftye^xn!

Passo 5

Agora o denominador \u00e9 a constante n! e o numerador ainda cresce como e^x. Logo
limxtoinftye^xn! = infty
Como cada aplica\u00e7\u00e3o de L’H^opital preservou o valor do limite, conclu\u00edmos que o limite original diverge para infinito.

Resposta

infty

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