Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x pi / 2 tg xtg 5 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtopi2 tan xtan(5x)
usando a Regra de L’Hôpital quando possível. Vamos recorrer a limites de tipo tfracinftyinfty e à derivada de tan.

Passo 2

Ao nos aproximarmos de xtopi2, observamos
tan xtopminfty
e
tan(5x)topminfty,
portanto o quociente é do tipo tfracinftyinfty e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
ddxtan x = sec^2 x, ddxtan(5x) = 5,sec^2(5x)
Assim
limxtopi2tan xtan(5x) = limxtopi2sec^2 x5,sec^2(5x) = 15,limxtopi2sec^2 xsec^2(5x)

Passo 4

Para avaliar
limxtopi2sec^2 xsec^2(5x),
usamos que, perto de x=tfracpi2,
cos xapprox x-tfracpi2
e
cos(5x)approx 5l(x-tfracpi2r).
Logo
sec^2 x = 1cos^2 xapprox1(x-pi2)^2, sec^2(5x)approx125,(x-pi2)^2,
de onde
sec^2 xsec^2(5x)approx 25
Multiplicando por tfrac15, obtemos 5.

Resposta

5

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