Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto X :
X=(0,0,-1,2),(1,3,1,-1),(0,1,-2,1)

Passo 1

O enunciado pede um sistema linear homogêneo em R^4 cujo espaço de soluções (ou núcleo) seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores (0,0,-1,2), (1,3,1,-1) e (0,1,-2,1). Precisamos usar conceitos de espaço nulo e sistemas homogêneos.

Passo 2

Como o subespaço gerado por três vetores em R^4 tem dimensão 3 (assumindo que os vetores são linearmente independentes), o sistema homogêneo correspondente terá posto 1 e, portanto, uma única equação linear. Os coeficientes dessa equação são dados por um vetor (a,b,c,d) ortogonal a todos os vetores geradores.

Passo 3

Para impor a ortogonalidade, escrevemos as três condições:
(0,0,-1,2)cdot(a,b,c,d)= -c+2d = 0, (1,3,1,-1)cdot(a,b,c,d)= a+3b+c-d = 0, (0,1,-2,1)cdot(a,b,c,d)= b-2c+d = 0

Passo 4

Resolvendo esse sistema para (a,b,c,d): da primeira equação temos c=2d. Substituindo na terceira: b-2(2d)+d=0 b=3d. Na segunda: a+3b+c-d=0 torna-se a+9d+2d-d=0, logo a=-10d. Assim, a família de vetores ortogonais é (a,b,c,d)=d(-10,3,2,1).

Passo 5

Escolhendo o parâmetro d=1, obtemos o vetor de coeficientes (-10,3,2,1). A equação do sistema é
-10x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 0

Resposta

-10x₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄ = 0

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