Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto :
Passo 1
O enunciado pede um sistema linear homogêneo em cujo espaço de soluções (ou núcleo) seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores , e . Precisamos usar conceitos de espaço nulo e sistemas homogêneos.
Passo 2
Como o subespaço gerado por três vetores em tem dimensão (assumindo que os vetores são linearmente independentes), o sistema homogêneo correspondente terá posto e, portanto, uma única equação linear. Os coeficientes dessa equação são dados por um vetor ortogonal a todos os vetores geradores.
Passo 3
Para impor a ortogonalidade, escrevemos as três condições:
Passo 4
Resolvendo esse sistema para (a,b,c,d): da primeira equação temos c=2d. Substituindo na terceira: b-2(2d)+d=0 dá b=3d. Na segunda: a+3b+c-d=0 torna-se a+9d+2d-d=0, logo a=-10d. Assim, a família de vetores ortogonais é (a,b,c,d)=d(-10,3,2,1).
Passo 5
Escolhendo o parâmetro d=1, obtemos o vetor de coeficientes (-10,3,2,1). A equação do sistema é