Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto X :
X=(-1,-2,0,-1,0),(0,2,0,-1,2),(1,2,1,1,1),(0,3,-1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre um sistema homogêneo cujo espaço de soluções seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores de
X = {(-1,-2,0,-1,0), (0,2,0,-1,2), (1,2,1,1,1), (0,3,-1,0,1)}.
Isso cai em conteúdo de espaço nulo (null space) e complemento ortogonal: basta achar um vetor de coeficientes w tal que o produto escalar w·v = 0 para todo v em X. Esse w vai gerar a equação do sistema.

Passo 2

Vamos chamar w = (w₁, w₂, w₃, w₄, w₅). Queremos
w cdot vi = 0, i=1,2,3,4
Escrevendo essas condições a partir de cada vetor:

Passo 3

Pela condição w·(-1,-2,0,-1,0)=0 obtemos
-w1 - 2w2 - w4 = 0
Para (0,2,0,-1,2):
2w2 - w4 + 2w5 = 0
Para (1,2,1,1,1):
w1 + 2w2 + w3 + w4 + w5 = 0
Para (0,3,-1,0,1):
3w2 - w3 + w5 = 0

Passo 4

Resolvendo esse sistema de 4 equações e 5 incógnitas, por exemplo expressando w₁, w₃, w₄ em função de w₂ e w₅ e depois impondo consistência, a gente encontra
w2 = -tfrac23 w5, w1 = tfrac23 w5, w3 = -w5, w4 = tfrac23 w5
Escolhendo w_5 = 3 para evitar frações, fica
w = (2, -2, -3, 2, 3)

Passo 5

Como o sistema procurado é w·x = 0, concluímos que a única equação (até múltiplo escalar) é
2x1 - 2x2 - 3x3 + 2x4 + 3x5 = 0

Passo 6

Esse sistema homogêneo tem dimensão do espaço de soluções igual a 4, e justamente coincide com o span(X).

Resposta

2x_1 - 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 + 3x_5 = 0

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