Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto
:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre um sistema homogêneo cujo espaço de soluções seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores de
X = {(-1,-2,0,-1,0), (0,2,0,-1,2), (1,2,1,1,1), (0,3,-1,0,1)}.
Isso cai em conteúdo de espaço nulo (null space) e complemento ortogonal: basta achar um vetor de coeficientes w tal que o produto escalar w·v = 0 para todo v em X. Esse w vai gerar a equação do sistema.
X = {(-1,-2,0,-1,0), (0,2,0,-1,2), (1,2,1,1,1), (0,3,-1,0,1)}.
Isso cai em conteúdo de espaço nulo (null space) e complemento ortogonal: basta achar um vetor de coeficientes w tal que o produto escalar w·v = 0 para todo v em X. Esse w vai gerar a equação do sistema.
Passo 2
Vamos chamar w = (w₁, w₂, w₃, w₄, w₅). Queremos
Escrevendo essas condições a partir de cada vetor:
Passo 3
Pela condição w·(-1,-2,0,-1,0)=0 obtemos
Para (0,2,0,-1,2):
Para (1,2,1,1,1):
Para (0,3,-1,0,1):
Passo 4
Resolvendo esse sistema de 4 equações e 5 incógnitas, por exemplo expressando w₁, w₃, w₄ em função de w₂ e w₅ e depois impondo consistência, a gente encontra
Escolhendo w_5 = 3 para evitar frações, fica
Passo 5
Como o sistema procurado é w·x = 0, concluímos que a única equação (até múltiplo escalar) é
Passo 6
Esse sistema homogêneo tem dimensão do espaço de soluções igual a 4, e justamente coincide com o span(X).
Resposta
2x_1 - 2x_2 - 3x_3 + 2x_4 + 3x_5 = 0