Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto
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Passo 1
O enunciado pede um sistema homogêneo em ℝ⁵ cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado por X = {(-2,1,0,1,2),(1,1,-1,1,-1)}. Esse subespaço tem dimensão 2, logo precisamos de 5–2=3 equações lineares independentes para definir exatamente esse espaço como o núcleo do sistema.
Passo 2
Para construir esse sistema usamos o método do complemento ortogonal: se A·x=0 é o sistema, então o espaço solução é o ortogonal ao espaço gerado pelas linhas de A. Queremos que esse ortogonal coincida com Span(X), ou seja, as linhas de A devem gerar (Span(X))^⊥.
Passo 3
Chamando w=(w₁,w₂,w₃,w₄,w₅) um vetor em (Span(X))^⊥, impomos v₁·w=0 e v₂·w=0, onde v₁=(-2,1,0,1,2) e v₂=(1,1,-1,1,-1). Assim obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo em função de w₃,w₄,w₅ livres: da primeira equação w₂=2w₁ - w₄ -2w₅; substituindo na segunda obtemos 3w₁ - w₃ -3w₅=0, ou seja w₁=\frac13 w₃ + w₅. Logo
Passo 5
Para escolher uma base inteira do complemento, tomamos (w₃,w₄,w₅) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e multiplicamos por 3 para eliminar frações. Isso gera os vetores ortogonais
Passo 6
Cada um desses vetores vira uma linha na matriz do sistema A. Assim obtemos 3 equações lineares independentes cujo núcleo é exatamente Span(X).