Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto X :
X=(-2,1,0,1,2),(1,1,-1,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede um sistema homogêneo em ℝ⁵ cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado por X = {(-2,1,0,1,2),(1,1,-1,1,-1)}. Esse subespaço tem dimensão 2, logo precisamos de 5–2=3 equações lineares independentes para definir exatamente esse espaço como o núcleo do sistema.

Passo 2

Para construir esse sistema usamos o método do complemento ortogonal: se A·x=0 é o sistema, então o espaço solução é o ortogonal ao espaço gerado pelas linhas de A. Queremos que esse ortogonal coincida com Span(X), ou seja, as linhas de A devem gerar (Span(X))^⊥.

Passo 3

Chamando w=(w₁,w₂,w₃,w₄,w₅) um vetor em (Span(X))^⊥, impomos v₁·w=0 e v₂·w=0, onde v₁=(-2,1,0,1,2) e v₂=(1,1,-1,1,-1). Assim obtemos o sistema
-2w₁ + w₂ + w₄ + 2w₅ = 0, w₁ + w₂ - w₃ + w₄ - w₅ = 0

Passo 4

Resolvendo em função de w₃,w₄,w₅ livres: da primeira equação w₂=2w₁ - w₄ -2w₅; substituindo na segunda obtemos 3w₁ - w₃ -3w₅=0, ou seja w₁=\frac13 w₃ + w₅. Logo
w₁=tfrac13w₃ + w₅, w₂=tfrac23w₃ - w₄, w₃, w₄, w₅ livres

Passo 5

Para escolher uma base inteira do complemento, tomamos (w₃,w₄,w₅) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e multiplicamos por 3 para eliminar frações. Isso gera os vetores ortogonais
(1,2,3,0,0),(0,-1,0,1,0),(1,0,0,0,1)

Passo 6

Cada um desses vetores vira uma linha na matriz do sistema A. Assim obtemos 3 equações lineares independentes cujo núcleo é exatamente Span(X).

Resposta

x1 + 2x2 + 3x3 = 0
-,x2 + x4 = 0
x1 + x5 = 0

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