Obtenha um sistema linear cujo espaço de soluções seja o subespaço gerado pelo conjunto X :
X=(0,-1,0,0,1),(0,1,1,1,0),(-2,1,-1,0,1),(-1,1,-1,0,0)

Passo 1

Queremos achar um sistema linear homogêneo em R^5 cuja solução seja exatamente o subespaço gerado por X=(0,-1,0,0,1),(0,1,1,1,0),(-2,1,-1,0,1),(-1,1,-1,0,0). O conteúdo é espaço nulo e complemento ortogonal: para descrever um subespaço de dimensão 4 em R^5, basta uma única equação linear, cujo vetor de coeficientes é ortogonal a todos os vetores de X.

Passo 2

Seja w=(a,b,c,d,e) um vetor normal ao subespaço. Impondo wcdot v=0 para cada vin X, obtemos o sistema
-b+e=0, b+c+d=0, -2a+b-c+e=0, -a+b-c=0

Passo 3

Resolvendo essas equações, da primeira vem e=b. Da quarta a=b-c. Substituindo na terceira obtém-se c=0. Então a=b e d=-b. Podemos escolher b=1 para um normal não nulo, ficando
w=(1,1,0,-1,1)

Passo 4

A única equação do sistema homogêneo é dado pelo produto escalar de w com x=(x1,x2,x3,x4,x5) igual a zero, ou seja:
x1 + x2 - x4 + x5 = 0

Resposta

Um sistema cujo espaço de soluções é o span de X é:
x1 + x2 - x4 + x5 = 0

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