Usando o critério da razão, determine a convergência ou divergência de:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{3{k}+k}{2{k}+k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{3^{k}+k}{2^{k}+k}
converge ou diverge, usando o critério da razão. Informações dadas: os termos gerais são
a_k=\frac{3^{k}+k}{2^{k}+k},\qquad k=0,1,2,\dots
Não há outras informações adicionais na questão.

Passo 2

Vou lembrar o enunciado do critério da razão (de forma didática):
Seja (a_k) uma sequência de termos de uma série e defina
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
As conclusões são:
  • se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui os a_k são positivos, então podemos omitir as barras de valor absoluto.

Passo 3

Vamos escrever a razão \dfrac{a_{k+1}}{a_k}. Com a_k=\dfrac{3^{k}+k}{2^{k}+k} temos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{3^{k+1}+k+1}{2^{k+1}+k+1}\cdot\frac{2^{k}+k}{3^{k}+k}.
Para facilitar o limite, fatoramos 3^k no numerador e 2^k no denominador de a_k. Observamos que
a_k=\frac{3^k\Big(1+\dfrac{k}{3^k}\Big)}{2^k\Big(1+\dfrac{k}{2^k}\Big)}=\left(\frac{3}{2}\right)^k\cdot\frac{1+\dfrac{k}{3^k}}{1+\dfrac{k}{2^k}}.

Passo 4

Usando a forma fatorada, escrevemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{1+\dfrac{k+1}{3^{k+1}}}{1+\dfrac{k+1}{2^{k+1}}}\cdot \frac{1+\dfrac{k}{2^{k}}}{1+\dfrac{k}{3^{k}}}.
Agora analisamos os pequenos termos \dfrac{k}{3^k} e \dfrac{k}{2^k} quando k\to\infty. É um fato padrão (explicação curta: a exponencial vence qualquer polinômio) que, para qualquer constante c>1,
\lim_{k\to\infty}\frac{k}{c^k}=0.
Portanto
\lim_{k\to\infty}\frac{k}{3^k}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{k\to\infty}\frac{k}{2^k}=0.

Passo 5

Aplicando esses limites na expressão da razão, obtemos
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{1+0}{1+0}\cdot \frac{1+0}{1+0} =\frac{3}{2}.
Ou seja, o limite da razão entre termos consecutivos é L=\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Como L=\dfrac{3}{2}>1, pelo critério da razão a série diverge. (Intuitivamente, os termos a_k crescem geometricamente como \left(\dfrac{3}{2}\right)^k para grandes k, portanto a soma não pode convergir.)

Resposta

A série diverge.

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