Obtenha a solução geral de cada EDO a seguir.
(x^3+y^3) d x+3 x y^2 d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
l(x^3+y^3r),dx + 3,x,y^2,dy = 0
Trata-se de uma equação do primeiro ordem que parece ser exata. Para resolver, vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
dPhi = l(x^3+y^3r),dx + 3,x,y^2,dy

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^3+y^3, N(x,y) = 3,x,y^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 3,y^2, partial Npartial x = 3,y^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi satisfazendo partialPhi/partial x = M. Integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (x^3+y^3),dx = x^44 + x,y^3 + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos partialPhi/partial y = N. Calculando:
partialPhipartial y = 3,x,y^2 + h'(y) = 3,x,y^2
Logo h'(y)=0, isto é, h(y)= constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de Phi(x,y)=C. Assim,
x^44 + x,y^3 = C,
ou equivalentemente
x^4 + 4,x,y^3 = C'

Resposta

x^44 + x,y^3 = C, em que C é constante arbitrária.

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