Obtenha a solução geral de cada EDO a seguir.
x (d yd x)-y-raizx^2-y^2=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação
xdydx-y-raizx^2-y^2=0
que é uma EDO de primeira ordem onde tanto y quanto raizx^2-y^2 são homogêneos de grau 1 em x,y. Vamos usar a substituição típica para equações homogêneas, definindo
v=yx,
ou seja, y=xv.

Passo 2

Substituindo y=xv e calculando
dydx=v+xdvdx,
a equação original
xdydx=y+raizx^2-y^2
fica
xl(v+xdvdxr)=xv+raizx^2-x^2v^2
Como raizx^2-x^2v^2=xraiz1-v^2, obtemos
xv + x^2dvdx=xv + xraiz1-v^2
Cancelando xv em ambos os lados resulta
x^2dvdx=xraiz1-v^2

Passo 3

Simplificando por xneq0, temos
xdvdx=raiz1-v^2
Agora separamos variáveis:
dvraiz1-v^2=dxx

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral dvraiz1-v^2 =integral dxx Longrightarrow arcsin(v)=lnlvert xrvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y, temos v=y/x, logo
arcsin!l(yxr)=lnlvert xrvert + C Longrightarrow yx=sinl(lnlvert xrvert + Cr)

Resposta

boxedy = x,sinl(lnlvert xrvert + Cr),
onde C é a constante arbitrária.

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