Obtenha a solução geral de cada EDO a seguir.
2 x^2(d yd x)=y^2-x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
2x^2,dydx=y^2-x^2
Este tipo de EDO é homogênea de primeira ordem, pois o quociente
y^2-x^2x^2 depende apenas de y/x. Vamos então usar a substituição padrão para equações homogêneas:
u=yx,ou seja y=ux

Passo 2

Derivando y=ux em relação a x temos
dydx=u+xdudx
Substituindo na equação original
2x^2l(u+xdudxr) ;=; (ux)^2-x^2 ;Longrightarrow; 2x^2u+2x^3dudx=u^2x^2-x^2
Dividindo tudo por x^2 (supondo xneq0) resulta
2u+2xdudx=u^2-1 ;Longrightarrow; 2xdudx=u^2-1-2u =;u^2-2u-1

Passo 3

Reescrevendo
dudx=u^2-2u-12x
e separando variáveis temos
2,duu^2-2u-1=dxx

Passo 4

Para integrar a esquerda, completamos o quadrado no denominador:
u^2-2u-1=(u-1)^2-(raiz2)^2
Então
integral 2,du(u-1)^2-(raiz2)^2 =integraldxx
Reconhecemos a forma integral dww^2-a^2=12alnl|w-aw+ar|. Assim, com w=u-1 e a=raiz2, obtemos
1raiz2lnl|,u-1-raiz2,,u-1+raiz2,r|=lnlvert xrvert +C1

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por raiz2 e exponenciando, define-se uma constante arbitrária C:
u-1-raiz2u-1+raiz2=C,x^raiz2
Voltando a u=y/x, fica
yx-1-raiz2yx-1+raiz2 =C,x^raiz2 ;Long<=ftrightarrow; ,y-(1+raiz2)x,,y-(1-raiz2)x, =C,x^raiz2

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
boxedy-(1+raiz2)xy-(1-raiz2)x=C,x^raiz2,
onde C é constante arbitrária.

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