Seja
o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
pelos planos
com funçăo densidade
. Use um sistema de computação algébrica para determinar os valores exatos das seguintes quantidades para
.
(a) A massa
(b)
centro de massa
(c) O momento de inércia em relação ao eixo
(a) A massa
(b)
(c) O momento de inércia em relação ao eixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular, no primeiro octante sob o cilindro
e limitado pelos planos
,
e
, as seguintes quantidades do sólido
com densidade
:
– (a) a massa ,
– (b) o centro de massa com
, etc.,
– (c) o momento de inércia em relação ao eixo ,
.
Para organizar, usamos coordenadas retangulares:
– (a) a massa
– (b) o centro de massa
– (c) o momento de inércia em relação ao eixo
Para organizar, usamos coordenadas retangulares:
Passo 2
Calcular a massa
Integrando em
:
Logo
Integrando em
e depois em
(dividindo em dois termos e usando substituições padrão e integrais trigonométricas), obtém-se
Passo 3
Calcular
. Primeiro
Portanto
Passo 4
Calcular
. Primeiro
Logo
Passo 5
Calcular
. Primeiro
Assim
Passo 6
Calcular o momento de inércia em relação a
:
Fazendo a mesma ordenação de integrais e decompondo em três termos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)