Seja E o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos y=z, x=0 e z=0 com funçăo densidade rho(x, y, z)=1+x+y+z. Use um sistema de computação algébrica para determinar os valores exatos das seguintes quantidades para E.
(a) A massa
(b) O centro de massa
(c) O momento de inércia em relação ao eixo z

Passo 1

O enunciado pede para calcular, no primeiro octante sob o cilindro x^2+y^2=1 e limitado pelos planos x=0, z=0 e z=y, as seguintes quantidades do sólido E com densidade rho(x,y,z)=1+x+y+z:
– (a) a massa m=integral triplaErho,dV,
– (b) o centro de massa l(bar x,bar y,bar zr) com bar x=tfrac1mintegral triplaExrho,dV, etc.,
– (c) o momento de inércia em relação ao eixo z, Iz=integral triplaE(x^2+y^2)rho,dV.
Para organizar, usamos coordenadas retangulares:
0<= z<= y, 0<= x<=raiz1-y^2,0<= y<=1

Passo 2

Calcular a massa
m=integraly=0^1integralx=0^raiz1-y^2integralz=0^y(1+x+y+z),dz,dx,dy
Integrando em z:
integral0^y(1+x+y+z),dz =(1+x+y),y+tfracy^22 = y + yx + tfrac32y^2
Logo
m =integral0^1integral0^raiz1-y^2l(y + yx + tfrac32y^2r),dx,dy
Integrando em x e depois em y (dividindo em dois termos e usando substituições padrão e integrais trigonométricas), obtém-se
m=44+9pi96

Passo 3

Calcular bar x. Primeiro
integral triplaExrho,dV =integral0^1!integral0^raiz1-y^2!integral0^y x(1+x+y+z),dz,dx,dy =724
Portanto
bar x =integral triplaExrho,dVm =tfrac724tfrac44+9pi96 =2844+9pi

Passo 4

Calcular bar y. Primeiro
integral triplaEyrho,dV =integral0^1!integral0^raiz1-y^2!integral0^y y(1+x+y+z),dz,dx,dy =15pi+64240
Logo
bar y =integral triplaEyrho,dVm =tfrac15pi+64240tfrac44+9pi96 =30pi+1285,(44+9pi)

Passo 5

Calcular bar z. Primeiro
integral triplaEzrho,dV =integral0^1!integral0^raiz1-y^2!integral0^y z(1+x+y+z),dz,dx,dy =45pi+2081440
Assim
bar z =integral triplaEzrho,dVm =tfrac45pi+2081440tfrac44+9pi96 =45pi+20815,(44+9pi)

Passo 6

Calcular o momento de inércia em relação a z:
Iz =integral triplaE(x^2+y^2),(1+x+y+z),dV
Fazendo a mesma ordenação de integrais e decompondo em três termos
Iz =integral0^1integral0^raiz1-y^2integral0^y l(x^2+y^2r)(1+x+y+z),dz,dx,dy = 3184+pi64

Resposta

(a) m=dfrac44+9pi96
(b) bar x=2844+9pi, bar y=30pi+1285,(44+9pi), bar z=45pi+20815,(44+9pi)
(c) Iz=dfrac3184+dfracpi64

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