Obtenha a solução geral para a equação diferencial linear dada.

Passo 1

O enunciado pede para obter a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
(1+e^x)dydx+e^x y=0
Aqui o conteúdo é EDO linear de 1º ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dydx+p(x)y=0. Dividindo ambos os lados por 1+e^x (que nunca é zero) obtemos
dydx+underbracee^x1+e^xp(x),y=0
Isso mostra que p(x)=e^x1+e^x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx. Para integrale^x1+e^xdx fazemos a substituição t=1+e^x, então dt=e^x dx e
integrale^x1+e^xdx=integraldtt=ln|t|=ln(1+e^x)
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mu(x)=e^ln(1+e^x)=1+e^x

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x) temos
(1+e^x)dydx+e^x1+e^x(1+e^x)y=(1+e^x)dydx+e^x y=(mu y)',
isto é, a equação vira
(mu y)'=0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x
mu(x),y=CLongrightarrow(1+e^x)y=C
e, isolando y, obtemos a solução geral.

Passo 6

A solução geral da equação é dada por
y=C1+e^x,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y=dfracC1+e^x

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