Obtenha a solução geral para a equação diferencial linear dada.
Passo 1
O enunciado pede para obter a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
Aqui o conteúdo é EDO linear de 1º ordem e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
. Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero) obtemos
Isso mostra que
p(x)=e^x1+e^x .
Passo 3
Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral p(x),dx . Para
integrale^x1+e^xdx fazemos a substituição
t=1+e^x , então
dt=e^x dx e
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Passo 4
Multiplicando a forma padrão por
mu(x) temos
isto é, a equação vira
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
x dá
e, isolando
y , obtemos a solução geral.
Passo 6
A solução geral da equação é dada por
onde
C é a constante de integração.