Obtenha a solução geral para a equação diferencial linear dada.
cos ^2 x sin x d y+(y cos ^3 x-1) d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
cos^2xsin x,dy + l(ycos^3x - 1r),dx = 0
e pede a solução geral. Isso é uma equação de primeira ordem linear em y(x). Para resolver, vamos:
  1. Colocar em forma padrão dy/dx + P(x),y = Q(x).
  2. Encontrar o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx.
  3. Multiplicar tudo por mu(x), reconhecer o lado esquerdo como ddx[mu(x),y].
  4. Integrar e isolar y.

Passo 2

Dividindo tudo por cos^2xsin x, fica
dydx + ycos^3x - 1cos^2xsin x = 0 Longrightarrow dydx + underbracecos^3xcos^2xsin xP(x),y = underbrace1cos^2xsin xQ(x)
Simplificando,
P(x)=cot x, Q(x)=sec^2x,csc x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral cot x,dxr) = expl(ln|sin x|r) = sin x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=sin x:
sin x,dydx + sin x,cot x,y = sin x;sec^2x,csc x Longrightarrow ddxl(ysin xr) = sec^2x
Agora integramos em x:
ysin x = integral sec^2x,dx = tan x + C

Passo 5

Finalmente isolamos y:
y = tan x + Csin x = tan xsin x + C,1sin x = sec x + C,csc x

Resposta

boxedy(x) = sec x + C,csc x,
onde C é a constante de integração.

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