Obtenha a solução geral para a equação diferencial linear dada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma
com
O objetivo é obter a solução geral. Vamos verificar se é exata ou se precisamos de fator integrante, e nesse caso encontrá-lo.
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão:
Como
, a equação não é exata. Para achar um fator integrante
, testamos a dependência apenas em
através de
que depende somente de
. Logo existe
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
como
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos a forma exata
Chamemos agora
Passo 5
Confirmamos a exatidão de
:
Como coincidem, existe uma função potencial
tal que
Passo 6
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Passo 7
Agora impomos
. Calculamos
Igualando a
:
daí
Integramos em
:
Passo 8
Portanto a função potencial é
e a solução geral, de forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.