Obtenha a solução geral para a equação diferencial linear dada.
y d x+(x y+2 x-y e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=y, N(x,y)=xy+2x - y e^y
O objetivo é obter a solução geral. Vamos verificar se é exata ou se precisamos de fator integrante, e nesse caso encontrá-lo.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y =1, partial Npartial x =y+2
Como 1neq y+2, a equação não é exata. Para achar um fator integrante mu, testamos a dependência apenas em y através de
partial Npartial x-partial Mpartial yM =(y+2)-1y =y+1y =1+1y,
que depende somente de y. Logo existe mu=mu(y).

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(y) como
mu(y) =exp!l(integrall(1+tfrac1yr),dyr) =expl(y+ln yr) =y,e^y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=y,e^y. Obtemos a forma exata
l(y^2e^yr),dx + l(xy^2e^y+2xy e^y-y^2e^2yr),dy =0
Chamemos agora
widetilde M(x,y)=y^2e^y, widetilde N(x,y)=x y^2e^y+2x y e^y-y^2e^2y

Passo 5

Confirmamos a exatidão de widetilde M,dx+widetilde N,dy=0:
partial widetilde Mpartial y =partialpartial y(y^2e^y) =y e^y(y+2),
partial widetilde Npartial x =partialpartial xl(x y^2e^y+2x y e^y-y^2e^2yr) =y^2e^y+2y e^y =y e^y(y+2)
Como coincidem, existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x =widetilde M, partial Psipartial y =widetilde N

Passo 6

Integramos partial Psipartial x=widetilde M em relação a x, tratando y como constante:
Psi(x,y) =integral y^2e^y,dx =x,y^2e^y+C(y)

Passo 7

Agora impomos partial Psipartial y=widetilde N. Calculamos
partial Psipartial y =xl(2y e^y+y^2e^yr)+C'(y) =x,y e^y(y+2)+C'(y)
Igualando a widetilde N:
x,y e^y(y+2)+C'(y) =x y^2e^y+2xy e^y-y^2e^2y,
daí
C'(y)=-y^2e^2y
Integramos em y:
C(y) =-integral y^2e^2y,dy =-(2y^2-2y+1)e^2y4 ;+;const

Passo 8

Portanto a função potencial é
Psi(x,y) =x,y^2e^y -(2y^2-2y+1)e^2y4,
e a solução geral, de forma implícita, é
Psi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x,y^2e^y -(2y^2-2y+1)e^2y4 =C

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