Obtenha a solução geral para a equação diferencial linear dada.
y d x+(x+2 x y^2-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=y, N(x,y)=x + 2xy^2 - 2y
O conteúdo necessário aqui é reconhecer que a equação não é exata e usar um fator integrante que dependa só de y para torná-la exata.

Passo 2

Verificamos que a equação não é exata, pois
partial Mpartial y =1, partial Npartial x =1+2y^2,
e essas derivadas não coincidem.

Passo 3

Como
partial Npartial x-partial Mpartial yM =(1+2y^2)-1y =2y
depende apenas de y, existe um fator integrante mu(y) dado por
mu(y) = e^integral 2y,dy = e^y^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y), obtendo
underbracey,e^y^2tilde M,dx + underbracel(x+2xy^2-2yr)e^y^2tilde N,dy =0
Agora verifica-se que
partial tilde Mpartial y =(1+2y^2)e^y^2 e partial tilde Npartial x =(1+2y^2)e^y^2,
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x =tilde M = y,e^y^2
Integrando em relação a x,
phi(x,y) = integral y,e^y^2,dx = x,y,e^y^2 + h(y)
Agora exigimos
partial phipartial y = partialpartial yl(x,y,e^y^2+h(y)r) = x(1+2y^2)e^y^2 + h'(y)
que deve ser igual a tilde N=(x+2xy^2-2y)e^y^2. Assim
x(1+2y^2)e^y^2 + h'(y) = x(1+2y^2)e^y^2 - 2y,e^y^2,
o que dá
h'(y) = -2y,e^y^2 Longrightarrow h(y) = -e^y^2
Portanto
phi(x,y) = x,y,e^y^2 - e^y^2

Passo 6

A solução geral vem de phi(x,y)=C, ou seja
x,y,e^y^2 - e^y^2 = C ;Long<=ftrightarrow; e^y^2l(xy - 1r) = C

Resposta

e^y^2l(xy - 1r) = C,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados