Obtenha a solução geral para a equação diferencial linear dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
com
O conteúdo necessário aqui é reconhecer que a equação não é exata e usar um fator integrante que dependa só de
para torná-la exata.
Passo 2
Verificamos que a equação não é exata, pois
e essas derivadas não coincidem.
Passo 3
Como
depende apenas de
, existe um fator integrante
dado por
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora verifica-se que
logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
phi(x,y) tal que
Integrando em relação a
x ,
Agora exigimos
que deve ser igual a
tilde N=(x+2xy^2-2y)e^y^2 . Assim
o que dá
Portanto
Passo 6
A solução geral vem de
phi(x,y)=C , ou seja
Resposta
onde
C é a constante de integração.