Obtenha a solução geral das seguintes EDOs usando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=7+2 x+3 e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+3y'+2y=7+2x+3e^{-x},
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O lado direito (forçamento) é a soma de três termos: uma constante 7, um polinômio de grau 1 dado por 2x, e uma exponencial 3e^{-x}.
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, de segunda ordem.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), que é soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''+3y'+2y=0.
Para EDOs lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtém-se a equação característica
r^2+3r+2=0.
Resolver a quadrática: fatorando,
r^2+3r+2=(r+1)(r+2)=0,
logo as raízes são r=-1 e r=-2, distintas e reais. Quando as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes. Denotando constantes arbitrárias por C_1,C_2, temos
y_h(x)=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes reais que serão determinadas por condições iniciais (se houvessem), mas na solução geral ficam livres.

Passo 3

Método dos coeficientes a determinar (descrição didática e escolha do ansatz).
Ideia geral do método: como o lado direito é soma de termos simples (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), tenta-se uma solução particular y_p que seja combinação de funções da mesma “família”, com coeficientes indeterminados; em seguida esses coeficientes são ajustados ao substituir na EDO.
Regra prática para escolher o formato de y_p:
  • Para um termo polinomial de grau n usar um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados.
  • Para um termo Ae^{\alpha x} usar Be^{\alpha x}. Se e^{\alpha x} for solução da homogênea (isto é, \alpha for raiz da característica), multiplicar o palpite por x tantas vezes quanto a multiplicidade da raiz (resonância).
  • Somar palpites quando o lado direito é soma de termos.
Aplicando ao nosso caso:
  • O termo 7+2x é um polinômio de grau 1. Tomamos o palpite polinomial
y_{p1}(x)=Ax+B,
com A,B indeterminados.
  • O termo 3e^{-x}: a base e^{-x} corresponde à raiz r=-1 da característica, que já está na solução homogênea (multiplicidade 1). Por causa da ressonância, devemos multiplicar o palpite por x. Portanto usamos
y_{p2}(x)=C x e^{-x},
com C indeterminado.
Somando as partes:
y_p(x)=Ax+B+Cx e^{-x}.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p e substituir na equação para determinar A,B,C.
Primeiro as derivadas dos termos polinomiais:
(Ax+B)'=A,\qquad (Ax+B)''=0.
Agora para o termo exponencial u(x)=Cx e^{-x}:
Calcular u' e u'' cuidadosamente:
u'(x)=C\frac{d}{dx}\big(x e^{-x}\big)=C\big(e^{-x}-x e^{-x}\big)=C e^{-x}(1-x),
u''(x)=C\frac{d}{dx}\big(e^{-x}(1-x)\big)=C\big(-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)\big)=C e^{-x}\big(x-2\big).
(Detalhe do cálculo: derivada de e^{-x}(1-x) usa regra do produto; o resultado simplifica como mostrado.)
Agora compondo y_p, y_p', y_p'':
y_p''=0 + C e^{-x}(x-2),
y_p'=A + C e^{-x}(1-x),
y_p=Ax+B + C x e^{-x}.
Substituir na equação y''+3y'+2y:
\begin{aligned} y_p''+3y_p'+2y_p &= \big[C e^{-x}(x-2)\big] + 3\big[A + C e^{-x}(1-x)\big] + 2\big[Ax+B + C x e^{-x}\big] \\\ &= \underbrace{(0+3A+2Ax+2B)}_{\text{termos polinomiais}} \;+\; \underbrace{C e^{-x}\big((x-2)+3(1-x)+2x\big)}_{\text{termos exponenciais}}. \end{aligned}
Simplificar cada parte:
  • Parte polinomial: agrupar coeficientes de x e constantes:
2Ax + (3A+2B).
  • Parte exponencial: dentro do colchete
(x-2)+3(1-x)+2x = x-2 +3 -3x +2x = 1,
portanto a parte exponencial fica simplesmente C e^{-x}.
Logo
y_p''+3y_p'+2y_p = 2Ax + (3A+2B) + C e^{-x}.

Passo 5

Igualar o resultado ao lado direito 7+2x+3e^{-x} e comparar coeficientes.
Temos a identidade para todo x:
2Ax + (3A+2B) + C e^{-x} \;=\; 2x + 7 + 3e^{-x}.
Comparando coeficientes do polinômio (termo em x e termo constante) e do exponencial:
  • Coeficiente de x: 2A=2 \Rightarrow A=1.
  • Coeficiente constante: 3A+2B=7. Substituindo A=1 3+2B=7 então 2B=4 e B=2.
  • Coeficiente de e^{-x}: C=3.

Passo 6

Escrever a solução particular e a solução geral.
Encontramos
y_p(x)=Ax+B+Cx e^{-x}=1\cdot x + 2 + 3x e^{-x}=x+2+3x e^{-x}.
Soma com a solução homogênea:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x} + x + 2 + 3x e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Pequeno comentário final: os termos e^{-x} da homogênea e x e^{-x} da particular coexistem sem problemas porque a multiplicação por x na parte particular eliminou a ressonância direta; em provas, lembrar de multiplicar por x^m quando a função do lado direito pertence ao núcleo da homogênea (com m igual à multiplicidade da raiz correspondente).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}+x+2+3x e^{-x}

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