Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=x^{2}+4 x.

Passo 1

O enunciado dá a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 3y = x^2 + 4x
e pede uma solução particular. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, escolhendo um ansatz polinomial de grau igual ao do termo não homogêneo.

Passo 2

Como o lado direito é o polinômio x^2+4x, suponho uma solução particular da forma
y_p(x) = Ax^2 + Bx + C.
Então
y_p'(x) = 2Ax + B,
y_p''(x) = 2A.

Passo 3

Substituo y_p, y_p' e y_p'' na equação:
y_p'' + 2y_p' + 3y_p = 2A + 2(2Ax+B) + 3(Ax^2 + Bx + C).
Desenvolvendo, fica
2A + 4Ax + 2B + 3Ax^2 + 3Bx + 3C = 3Ax^2 + (4A + 3B)x + (2A + 2B + 3C).

Passo 4

Igualo este polinômio a x^2 + 4x\). Assim obtenho o sistema para \(A,B,C\): \[\begin{cases} 3A = 1,\\\\ 4A + 3B = 4,\\\\ 2A + 2B + 3C = 0. \end{cases}
Resolvendo:
\;A = \tfrac13\], \(\;4\cdot\tfrac13 + 3B = 4\implies 3B = \tfrac{8}{3}\implies B = \tfrac{8}{9},
\;2\cdot\tfrac13 + 2\cdot\tfrac{8}{9} + 3C = 0\implies 3C = -\tfrac{22}{9}\implies C = -\tfrac{22}{27}.

Passo 5

Logo, uma solução particular é
y_p(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{8}{9}x - \frac{22}{27}.

Resposta

y_p(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{8}{9}x - \frac{22}{27}.

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