Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}+4 y=\sin (3 x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = \sin(3x).
O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 4y = 0,
cuja equação característica é r^2 + 4 = 0 com raízes r = \pm 2i. Logo
y_h(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).
Como o termo forçante \sin(3x) tem frequência 3\neq2, podemos propor
y_p(x) = A\cos(3x) + B\sin(3x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(x) = -3A\sin(3x) + 3B\cos(3x),
y_p''(x) = -9A\cos(3x) - 9B\sin(3x).

Passo 4

Substituindo em y'' + 4y, obtemos
y_p'' + 4y_p = (-9A + 4A)\cos(3x) + (-9B + 4B)\sin(3x) = -5A\cos(3x) - 5B\sin(3x).

Passo 5

Igualando ao forçante \sin(3x), isto é
-5A\cos(3x) - 5B\sin(3x) = 0\cdot\cos(3x) + 1\cdot\sin(3x),
temos o sistema
-5A = 0,\quad -5B = 1,
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A = 0,\quad B = -\frac{1}{5}.

Passo 6

Portanto, uma solução particular é
y_p(x) = -\frac{1}{5}\sin(3x).

Resposta

y_p(x) = -\tfrac{1}{5}\sin(3x).

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