Obtenha soluções particulares das equações:
y^{\prime \prime}+9 y=5 \sin (x)

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação
y'' + 9y = 5\sin(x).
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar para equações lineares com coeficientes constantes. Vamos supor um “chute” para y_p compatível com o termo forçante e ajustar parâmetros.

Passo 2

Observamos que a parte homogênea é
y_h'' + 9y_h = 0,
cuja solução geral envolve \cos(3x) e \sin(3x). Como \sin(x) e \cos(x) não aparecem na homogênea, escolhemos para a particular a forma
y_p = A\cos(x) + B\sin(x),
com A e B constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = -A\sin(x) + B\cos(x),
y_p'' = -A\cos(x) - B\sin(x).

Passo 4

Substituímos em y'' + 9y = 5\sin(x):
(-A\cos(x) - B\sin(x)) + 9(A\cos(x) + B\sin(x)) = 8A\cos(x) + 8B\sin(x).
Isso deve ser igual a 5\sin(x), ou seja,
8A\cos(x) + 8B\sin(x) = 0\cdot\cos(x) + 5\sin(x).
Igualando coeficientes obtém-se
8A = 0 \quad\Rightarrow\quad A = 0,
8B = 5 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{5}{8}.

Resposta

Uma solução particular é
y_p(x) = \frac{5}{8}\sin(x).

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