Obtenha soluções particulares das equações: y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=x \sin (x).
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial não homogênea
y'' + y' + 2y = x\sin(x).
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar: como o termo à direita é um polinômio em x multiplicado por \sin(x), vamos assumir um ansatz da forma
y_p = (A x + B)\,\sin(x) + (C x + D)\,\cos(x),
com constantes reais A,B,C,D a encontrar.
Passo 2
Calculamos y_p'. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl((A x + B)\sin x\bigr) = A\sin x + (A x + B)\cos x,
\frac{d}{dx}\bigl((C x + D)\cos x\bigr) = C\cos x - (C x + D)\sin x.
Somando, obtemos
y_p' =\bigl(-C x + (A - D)\bigr)\sin x + \bigl(A x + (B + C)\bigr)\cos x.
Passo 3
Agora y_p''. Derivando de novo:
\frac{d}{dx}\bigl((-C x + A - D)\sin x\bigr) = -C\sin x +(-C x + A - D)\cos x,
\frac{d}{dx}\bigl((A x + B + C)\cos x\bigr) = A\cos x - (A x + B + C)\sin x.
Logo
y_p'' = -\bigl(A x + B + 2C\bigr)\sin x + \bigl(-C x + 2A - D\bigr)\cos x.
Passo 4
Substituímos na equação y''+y'+2y. Somando
y_p'' + y_p' + 2y_p
obtemos, após agrupar termos em x\sin x, \sin x, x\cos x e \cos x, o polinômio trigonométrico
(A - C)\,x\sin x + (A + B - D - 2C)\,\sin x + (A + C)\,x\cos x + (2A + B + C + D)\,\cos x.
Isso deve ser igual a x\sin x, ou seja coeficientes:
\begin{cases} A - C = 1,\\\ A + B - D - 2C = 0,\\\ A + C = 0,\\\\ 2A + B + C + D = 0. \end{cases}
Passo 5
Resolvendo o sistema:
A + C = 0 \implies C = -A,
A - C = 1 \implies 2A = 1 \implies A = \tfrac12,\; C = -\tfrac12.
Nas demais:
A + B - D - 2C = 0 \implies \tfrac12 + B - D +1 = 0 \implies B - D = -\tfrac32,
2A + B + C + D = 0 \implies 1 + B - \tfrac12 + D = 0 \implies B + D = -\tfrac12.