Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x 0+ x ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+ xln x
usando a Regra de L’Hôpital sempre que possível. Aqui temos uma indeterminação do tipo 0cdot(-infty), então vamos reescrever em uma forma tfrac00 ou tfracinftyinfty para aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Reescrevemos
xln x = ln x1/x
porque quando xto0^+ temos ln xto -infty e 1/xto +infty, gerando uma indeterminação do tipo tfrac-infty+infty, adequada para L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador separadamente:
– Numerador: ddx(ln x)=1x.
– Denominador: ddx(1/x)=-1x^2.
Logo, pela regra de L’Hôpital,
limxto0^+ln x1/x = limxto0^+tfrac1x-tfrac1x^2 = limxto0^+l(-xr)

Passo 4

Como limxto0^+(-x)=0, concluímos que
limxto0^+xln x=0

Resposta

0

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