Obtenha soluções particulares para as equações a seguir. Mostre as etapas da derivação, começando com a solução geral ( L, R, b são constantes).
y^prime=y / x+(2 x^3 / y) cos (x^2), y(raizpi / 2)=raizpi

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = yx + 2x^3ycosl(x^2r), yl(raiztfracpi2r)=raizpi
Este é um caso em que podemos usar a substituição
u = y^2
para transformar a equação numa equação linear de primeira ordem em u.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da equação original por 2y para ver que
2y,y' = 2ycdotyx + 2ycdot2x^3ycosl(x^2r) ;Longrightarrow; ddx(y^2) = 2y^2x + 4x^3cosl(x^2r)
Como definimos u=y^2, isso vira
u' = 2x,u + 4x^3cosl(x^2r),
ou seja
u' - 2x,u = 4x^3cosl(x^2r)

Passo 3

Para resolver
u' - 2xu = 4x^3cosl(x^2r)
vemos que o fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral -tfrac2x,dxr) = exp(-2ln x) = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2, obtemos
(x^-2u)' = 4x,cosl(x^2r)
Integrando em x:
x^-2u = integral 4xcosl(x^2r),dx = 2sinl(x^2r) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltando a u=y^2, temos
y^2 = u = 2x^2sinl(x^2r) + C,x^2 ;Longrightarrow; y = pm xraiz,2sinl(x^2r) + C,
Isto é a solução geral.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(raiztfracpi2)=raizpi. Seja x0=raiztfracpi2, então
sinl(x0^2r)=sinl(tfracpi2r)=1,
e
y^2(x0) = pi = x0^2l(2cdot1 + Cr) = pi2,(2 + C)
Logo
pi = pi2(2 + C) ;Longrightarrow; 2 + C = 2 ;Longrightarrow; C=0
Como y(x0)=raizpi>0, escolhemos o sinal “ +”.

Resposta

boxedy(x) = x,raiz2,sinl(x^2r)

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