Obtenha soluções particulares para as equações a seguir. Mostre as etapas da derivação, começando com a solução geral (
são constantes).
Passo 1
O enunciado pede a solução particular da equação diferencial
com condição inicial
.
O método aqui é separação de variáveis.
O método aqui é separação de variáveis.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
:
Agora separamos colocando todos os
de um lado e
do outro:
Passo 3
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
No lado direito precisamos de integração por partes em
.
Fazendo as contas (ou lembrando de uma primitiva típica), obtemos
Fazendo as contas (ou lembrando de uma primitiva típica), obtemos
Logo a igualdade integral fica
Passo 4
Simplificando e chamando
, temos
Para achar
usamos
. Neste ponto
e
, logo
Passo 5
Com
vem
A condição inicial dá
, então escolhemos o sinal positivo.