Obtenha soluções particulares para as equações a seguir. Mostre as etapas da derivação, começando com a solução geral ( L, R, b são constantes).
e^2 x y^prime=2(x+2) y^3, y(0)=1 / raiz5 approx 0,45

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da equação diferencial
e^2x,y' = 2,(x+2),y^3,
com condição inicial y(0)=1raiz5.
O método aqui é separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y':
y' = 2,(x+2),y^3e^2x =2,(x+2),e^-2x,y^3
Agora separamos colocando todos os y de um lado e x do outro:
y^-3,dy = 2,(x+2),e^-2x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
integral y^-3,dy = -12,y^2
No lado direito precisamos de integração por partes em
integral 2,(x+2),e^-2x,dx.
Fazendo as contas (ou lembrando de uma primitiva típica), obtemos
integral 2,(x+2),e^-2x,dx = -l(x+tfrac52r)e^-2x + C
Logo a igualdade integral fica
-12,y^2 = -l(x+tfrac52r)e^-2x + C

Passo 4

Simplificando e chamando K=-C, temos
12,y^2 = l(x+tfrac52r)e^-2x + K ;;Longrightarrow;; 1y^2 = (2x+5),e^-2x + C1
Para achar C1 usamos y(0)=1/raiz5. Neste ponto
tfrac1y(0)^2=5 e (2cdot0+5)e^0=5, logo
5 = 5 + C1 Longrightarrow C1=0

Passo 5

Com C1=0 vem
1y^2 = (2x+5),e^-2x Longrightarrow y^2 = e^2x2x+5 Longrightarrow y = pm e^xraiz2x+5
A condição inicial dá y(0)>0, então escolhemos o sinal positivo.

Resposta

boxedy(x)=e^xraiz2,x+5,

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