Resolva:
y^prime+2 y-x y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y^{\prime} + 2y - xy^{2} = 0 $. Esse tipo de equação é o que chamamos de equação de Bernoulli, que é uma equação diferencial não linear devido ao termo $ y^{2} $. Para resolver, vamos usar uma técnica específica que transforma essa equação em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, identificamos os componentes da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
y^prime + P(x)y = Q(x)y^n
Comparando com a nossa equação:
y^prime + 2y = xy^2
Aqui, temos:
  • $ P(x) = 2 $
  • $ Q(x) = x $
  • $ n = 2 $

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a equação. Definimos uma nova variável $ z $ da seguinte forma:
z
Essa substituição ajuda a transformar a equação não linear em uma equação linear.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ z $ em relação a $ x $:
z
Substituindo $ y^{\prime} $ da equação original:
x
Mas como $ z = y^{-1} $, podemos reescrever:
dzdx = -y^-2 cdot y^prime

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em $ z $:
z
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
dzdx - 2z = -x

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-2x cdot dzdx - 2e^-2xz = -x e^-2x
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ z \cdot e^{-2x} $:
z cdot e^-2x
Integrando ambos os lados:
ddx(z e^-2x) = -x e^-2x
Usando integração por partes, onde $ u = -x $ e $ dv = e^{-2x} dx $, encontramos:
z e^-2x = integral -x e^-2x dx + C
Portanto:
u = -x
Simplificando:
dv = e^-2x dx

Passo 7

Lembrando que $ z = \frac{1}{y} $, substituímos de volta:
z = 1y
Resolvendo para $ y $:
1y = x2 - 14 + C e^2x
Podemos simplificar a constante $ 2C $ para apenas $ C $, já que $ C $ é uma constante arbitrária:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 2x - 12 + C e^2x
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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