Resolva:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y^{\prime} + 2y - xy^{2} = 0 $. Esse tipo de equação é o que chamamos de equação de Bernoulli, que é uma equação diferencial não linear devido ao termo $ y^{2} $. Para resolver, vamos usar uma técnica específica que transforma essa equação em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, identificamos os componentes da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:
- $ P(x) = 2 $
- $ Q(x) = x $
- $ n = 2 $
Passo 3
Agora, fazemos uma substituição para simplificar a equação. Definimos uma nova variável $ z $ da seguinte forma:
Essa substituição ajuda a transformar a equação não linear em uma equação linear.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ z $ em relação a $ x $:
Substituindo $ y^{\prime} $ da equação original:
Mas como $ z = y^{-1} $, podemos reescrever:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em $ z $:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ z \cdot e^{-2x} $:
Integrando ambos os lados:
Usando integração por partes, onde $ u = -x $ e $ dv = e^{-2x} dx $, encontramos:
Portanto:
Simplificando:
Passo 7
Lembrando que $ z = \frac{1}{y} $, substituímos de volta:
Resolvendo para $ y $:
Podemos simplificar a constante $ 2C $ para apenas $ C $, já que $ C $ é uma constante arbitrária:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.