Obtenha a transformada de Laplace da função g(t)= s e n ( 2 t ) t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ g(t) = t \cdot \sin(2t) $. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $, ajudando a resolver equações diferenciais de forma mais fácil. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace e algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a função $ \sin(at) $. A transformada de Laplace de $ \sin(at) $ é:
sin(at)
No nosso caso, $ a = 2 $, então:
sin(at)

Passo 3

Agora, precisamos lidar com o $ t $ que está multiplicando a função seno. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que diz:
t
Isso significa que para encontrar a transformada de $ t \cdot \sin(2t) $, vamos derivar a transformada de $ \sin(2t) $ em relação a $ s $ e mudar o sinal.

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade. Já temos:
Lsin(2t) = 2s^2 + 4
Agora, derivamos essa expressão em relação a $ s $:
s
Segundo a propriedade, devemos mudar o sinal:
dds ( 2s^2 + 4 ) = dds ( 2(s^2 + 4)^-1 ) = -2 cdot (s^2 + 4)^-2 cdot 2s = -4s(s^2 + 4)^2

Resposta

A transformada de Laplace da função $ g(t) = t \cdot \sin(2t) $ é:
g(t) = t cdot sin(2t)

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