Obtenha a transformada de Laplace da função g(t)= s e n ( 2 t ) t
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ g(t) = t \cdot \sin(2t) $. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $, ajudando a resolver equações diferenciais de forma mais fácil. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace e algumas fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a função $ \sin(at) $. A transformada de Laplace de $ \sin(at) $ é:
No nosso caso, $ a = 2 $, então:
Passo 3
Agora, precisamos lidar com o $ t $ que está multiplicando a função seno. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que diz:
Isso significa que para encontrar a transformada de $ t \cdot \sin(2t) $, vamos derivar a transformada de $ \sin(2t) $ em relação a $ s $ e mudar o sinal.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade. Já temos:
Agora, derivamos essa expressão em relação a $ s $:
Segundo a propriedade, devemos mudar o sinal:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ g(t) = t \cdot \sin(2t) $ é: