Obtenha a Transformada de Laplace Inversa abaixo.

Dica: Use completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento complexo visto em sala.

Passo 1

O enunciado pede para calcular L^-19/(s^2+9). Esse conteúdo envolve transformada de Laplace inversa, completamento de quadrado e o teorema do deslocamento complexo. Vamos usar que L^-1b/((s-a)^2+b^2)=e^atsin(bt).

Passo 2

Para aplicar o teorema do deslocamento, completamos o quadrado no denominador. Observamos que:
s^2+9=(s-0)^2+3^2
Logo, identificamos a=0 e b=3.

Passo 3

Precisamos igualar nossa função à forma padrão. Nosso numerador é 9, mas o formato exige b=3. Assim:
9s^2+9=3cdot 3(s-0)^2+3^2=3cdot3(s-0)^2+3^2

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa usando L^-13/((s-0)^2+3^2)=e^0cdot tsin(3t)=sin(3t). Multiplicando o fator 3 externo, chegamos a 3sin(3t).

Resposta

3\sin(3t)

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