Obtenha as três equações de estado (temperatura, pressão e potencial químico) a partir da expressão abaixo:
U=\left(\frac{v_{0} \theta}{R^{2}}\right) \frac{S^{3}}{N V}

Passo 1

O enunciado dá a energia interna como função fundamental
U(S,V,N) \;=\;\Bigl(\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}}\Bigr)\,\frac{S^{3}}{N\,V}
e pede as três equações de estado, que vêm das definições termodinâmicas \displaystyle T=\bigl(\partial U/\partial S\bigr)_{V,N}, \displaystyle p=-\bigl(\partial U/\partial V\bigr)_{S,N} e \displaystyle \mu=\bigl(\partial U/\partial N\bigr)_{S,V}.

Passo 2

Para obter a temperatura calculamos
\frac{\partial U}{\partial S} =\Bigl(\frac{v_{0}\theta}{R^{2}}\Bigr)\frac{\partial}{\partial S}\Bigl(\frac{S^{3}}{N\,V}\Bigr) =\Bigl(\frac{v_{0}\theta}{R^{2}}\Bigr)\frac{3S^{2}}{N\,V}.
Logo
T=\Bigl(\frac{\partial U}{\partial S}\Bigr)_{V,N} =\frac{3\,v_{0}\,\theta}{R^{2}}\;\frac{S^{2}}{N\,V}.

Passo 3

Para obter a pressão calculamos
\frac{\partial U}{\partial V} =\Bigl(\frac{v_{0}\theta}{R^{2}}\Bigr)\frac{\partial}{\partial V}\Bigl(\frac{S^{3}}{N\,V}\Bigr) =\Bigl(\frac{v_{0}\theta}{R^{2}}\Bigr)\bigl(-\frac{S^{3}}{N\,V^{2}}\bigr).
Pelas definições termodinâmicas
p=-\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_{S,N} =\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}}\;\frac{S^{3}}{N\,V^{2}}.

Passo 4

Para obter o potencial químico fazemos
\frac{\partial U}{\partial N} =\Bigl(\frac{v_{0}\theta}{R^{2}}\Bigr)\frac{\partial}{\partial N}\Bigl(\frac{S^{3}}{N\,V}\Bigr) =\Bigl(\frac{v_{0}\theta}{R^{2}}\Bigr)\bigl(-\frac{S^{3}}{N^{2}V}\bigr).
Portanto
\mu=\Bigl(\frac{\partial U}{\partial N}\Bigr)_{S,V} =-\,\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}}\;\frac{S^{3}}{N^{2}V}.

Resposta

T=\frac{3\,v_{0}\,\theta}{R^{2}}\;\frac{S^{2}}{N\,V},\quad p=\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}}\;\frac{S^{3}}{N\,V^{2}},\quad \mu=-\,\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}}\;\frac{S^{3}}{N^{2}V}.

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