2- A posição de um objeto é dada por \mathbf{x}(\mathrm{t})=15 \mathrm{t}-3 \mathrm{t}^{2}+12, em que \mathbf{x} é medido em metros e t em segundos. Determine: (a) a velocidade e a aceleração instantâneas para \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} e \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}; (b) a velocidade e a aceleração médias entre \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} e \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de um objeto em função do tempo
x(t)=15t - 3t^{2} +12,
e pede (a) a velocidade instantânea v(t) e a aceleração instantânea a(t) nos instantes t=1 s e t=2 s, e (b) as velocidades e acelerações médias entre t=1 s e t=2 s. Vamos usar derivadas para obter v(t) e a(t) e diferenças quocientes para as médias.

Passo 2

A velocidade instantânea é a derivada de x(t) em relação a t. Assim,
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(15t - 3t^{2} +12\bigr) =15 - 6t.

Passo 3

A aceleração instantânea é a derivada de v(t) em relação a t. Logo,
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(15 - 6t\bigr) =-6.

Passo 4

Em t=1 s temos v(1)=15 - 6\cdot1=9 \mathrm{m/s} a(1)=-6 \mathrm{m/s^{2}}

Passo 5

Em t=2 s temos v(2)=15 - 6\cdot2=3 \mathrm{m/s} a(2)=-6 \mathrm{m/s^{2}}

Passo 6

A velocidade média entre t=1 s e t=2 s é
v_{\mathrm{med}} =\frac{x(2)-x(1)}{2-1}.
Calculando x(1)=15\cdot1 -3\cdot1^{2}+12=24 m e x(2)=15\cdot2 -3\cdot2^{2}+12=30 m, vem
v_{\mathrm{med}}=\frac{30-24}{1}=6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

A aceleração média entre t=1 s e t=2 s é
a_{\mathrm{med}} =\frac{v(2)-v(1)}{2-1} =\frac{3-9}{1}=-6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) Em t=1 s: v=9 \mathrm{m/s}, a=-6 \mathrm{m/s^{2}}.
Em t=2 s: v=3 \mathrm{m/s}, a=-6 \mathrm{m/s^{2}}.
(b) Velocidade média v_{\mathrm{med}}=6 \mathrm{m/s} e aceleração média a_{\mathrm{med}}=-6 \mathrm{m/s^{2}}.

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