Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
x+y-z+t & =1 3 x-y-2 z+t & =2 -x-2 y+3 z+2 t & =-1

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e quatro incógnitas
x + y - z + t = 1, 3x - y - 2z + t = 2, -,x - 2y + 3z + 2t = -1,
e pede para reduzir a matriz ampliada à forma escada, determinar o posto da matriz de coeficientes A e da ampliada (Amid b), e, se o sistema for possível, achar o grau de liberdade. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma escada.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada do sistema
l(Amid br)= 1 & 1 & -1 & 1 & m| & 1 [6pt] 3 & -1 & -2 & 1 & m| & 2 [6pt] -1 & -2 & 3 & 2 & m| & -1
e aplicamos operações de linha para zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna.]

Passo 3

Zeramos as entradas da coluna 1 embaixo do primeiro pivô:
R2 R2 - 3 cdot R1 e R3 R3 + R1, obtendo
1 & 1 & -1 & 1 & m| & 1 [3pt] 0 & -4 & 1 & -2 & m| & -1 [3pt] 0 & -1 & 2 & 3 & m| & 0 ]

Passo 4

Agora pivotamos na segunda linha e zeramos abaixo dele:
dividimos R2 por -4 l(R2!!-tfrac14R2r)
e somamos R3 R3 + R2, chegando \u00e0 forma escada final
1 & 1 & -1 & 1 & m| & 1 [3pt] 0 & 1 & -tfrac14 & tfrac12 & m| & tfrac14 [3pt] 0 & 0 & tfrac74 & tfrac72 & m| & tfrac14 ]

Passo 5

Da forma escada vemos três linhas não nulas, logo
posto(A)=3, posto(Amid b)=3
Como posto(A)=posto(Amid b), o sistema é possível. Há quatro incógnitas e o posto é 3, portanto o grau de liberdade é
4 - 3 = 1

Resposta

A forma escada da matriz ampliada \u00e9
1 & 1 & -1 & 1 & m| & 1 [3pt] 0 & 1 & -tfrac14 & tfrac12 & m| & tfrac14 [3pt] 0 & 0 & tfrac74 & tfrac72 & m| & tfrac14 ,
posto(A)=3, posto(Amid b)=3, o sistema \u00e9 poss\u00edvel e o grau de liberdade vale 1.]

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