Seja f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) uma função. Seja \(x_{0} \in(a, b)\). Definimos a derivada lateral à direita de \(x_{0}\), denotada por \(\left(f^{\prime}\right)^{+}\left(x_{0}\right)\), por
\[\left(f^{\prime}\right)^{+}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}
quando tal limite existe.
Similarmente, definimos a derivada lateral à esquerda de x_{0}, denotada por \left(f^{\prime}\right)^{-}\left(x_{0}\right), por
quando tal limite existe.
Observe que para f^{\prime}\left(x_{0}\right) existir, é necessário e suficiente que \left(f^{\prime}\right)^{+}\left(x_{0}\right) e \left(f^{\prime}\right)^{-}\left(x_{0}\right) existam e que
f(x)= \begin{cases}2 x^{2}+1, & \text { se } x<2 \\\\ 3 x+3, & \text { se } x \geq 2\end{cases}
Calcule \left(f^{\prime}\right)^{+}(2)\] e \(\left(f^{\prime}\right)^{-}(2).
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)
\[f(x)=\begin{cases}2x^{2}+1,&\text{se }x<2,\\[4pt]3x+3,&\text{se }x\ge 2,\end{cases}
e pede para calcular as derivadas laterais em x_{0}=2\], ou seja:
- \(\left(f^{\prime}\right)^{+}(2)=\displaystyle\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h};
- \left(f^{\prime}\right)^{-}(2)=\displaystyle\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Também anotei a informação importante: no ponto x=2 a definição usa o ramo f(x)=3x+3 porque esse ramo vale para x\ge 2. Vou precisar do valor f(2) para ambas as frações diferenciais.]
Passo 2
Calcular f(2) usando o ramo correto (x\ge 2):
f(2)=3\cdot 2+3=6+3=9,
logo f(2)=9.
Explicação rápida do porquê: como o enunciado definiu f(x)=3x+3 para x\ge 2, ao avaliar exatamente em x=2 usamos essa expressão.
Passo 3
Calcular a derivada lateral à direita \left(f^{\prime}\right)^{+}(2).
Pequena aula: ao dividir por h foi possível cancelar um fator h comum; isso é um truque comum para calcular limites do tipo diferença quociente quando se tem polinômios.
Passo 5
Interpretação final (importante para a prova): as derivadas laterais são
Como os dois valores são diferentes, a derivada usual f'(2) não existe. Isso é típico em funções por partes quando os dois ramos têm inclinações diferentes no ponto de encaixe.