Seja f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) uma função. Seja \(x_{0} \in(a, b)\). Definimos a derivada lateral à direita de \(x_{0}\), denotada por \(\left(f^{\prime}\right)^{+}\left(x_{0}\right)\), por \[\left(f^{\prime}\right)^{+}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}
quando tal limite existe.
Similarmente, definimos a derivada lateral à esquerda de x_{0}, denotada por \left(f^{\prime}\right)^{-}\left(x_{0}\right), por
\left(f^{\prime}\right)^{-}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h},
quando tal limite existe.
Observe que para f^{\prime}\left(x_{0}\right) existir, é necessário e suficiente que \left(f^{\prime}\right)^{+}\left(x_{0}\right) e \left(f^{\prime}\right)^{-}\left(x_{0}\right) existam e que
\left(f^{\prime}\right)^{+}\left(x_{0}\right)=\left(f^{\prime}\right)^{-}\left(x_{0}\right)
Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)= \begin{cases}2 x^{2}+1, & \text { se } x<2 \\\\ 3 x+3, & \text { se } x \geq 2\end{cases}
Calcule \left(f^{\prime}\right)^{+}(2)\] e \(\left(f^{\prime}\right)^{-}(2).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) \[f(x)=\begin{cases}2x^{2}+1,&\text{se }x<2,\\[4pt]3x+3,&\text{se }x\ge 2,\end{cases}
e pede para calcular as derivadas laterais em x_{0}=2\], ou seja: - \(\left(f^{\prime}\right)^{+}(2)=\displaystyle\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h};
- \left(f^{\prime}\right)^{-}(2)=\displaystyle\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Também anotei a informação importante: no ponto x=2 a definição usa o ramo f(x)=3x+3 porque esse ramo vale para x\ge 2. Vou precisar do valor f(2) para ambas as frações diferenciais.]

Passo 2

Calcular f(2) usando o ramo correto ( x\ge 2):
f(2)=3\cdot 2+3=6+3=9,
logo f(2)=9.
Explicação rápida do porquê: como o enunciado definiu f(x)=3x+3 para x\ge 2, ao avaliar exatamente em x=2 usamos essa expressão.

Passo 3

Calcular a derivada lateral à direita \left(f^{\prime}\right)^{+}(2).
Definição que vou usar:
\left(f^{\prime}\right)^{+}(2)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Para h>0 pequeno temos 2+h\ge 2, portanto usamos o ramo linear f(x)=3x+3. Então:
f(2+h)=3(2+h)+3=6+3h+3=9+3h.
Substituindo na definição:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(9+3h)-9}{h}=\frac{3h}{h}=3.
A expressão é exatamente a constante 3 para todo h\neq 0 pequeno e positivo, então o limite quando h\to 0^{+} é
\left(f^{\prime}\right)^{+}(2)=3.
Pequena aula: aqui usei que se uma expressão depende de h e simplifica para uma constante independente de h, o limite quando h\to 0 é essa constante.

Passo 4

Calcular a derivada lateral à esquerda \left(f^{\prime}\right)^{-}(2).
Definição:
\left(f^{\prime}\right)^{-}(2)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Para h<0 pequeno temos 2+h<2, então usamos o ramo quadrático f(x)=2x^{2}+1. Calcule f(2+h) expandindo passo a passo:
(2+h)^{2}=4+4h+h^{2},
f(2+h)=2(2+h)^{2}+1=2(4+4h+h^{2})+1=8+8h+2h^{2}+1=9+8h+2h^{2}.
Substituindo e simplificando:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(9+8h+2h^{2})-9}{h}=\frac{8h+2h^{2}}{h}=8+2h.
Agora fazemos o limite quando h\to 0^{-}. Como 8+2h é uma expressão contínua em h,
\left(f^{\prime}\right)^{-}(2)=\lim_{h\to 0^{-}}(8+2h)=8+2\cdot 0=8.
Pequena aula: ao dividir por h foi possível cancelar um fator h comum; isso é um truque comum para calcular limites do tipo diferença quociente quando se tem polinômios.

Passo 5

Interpretação final (importante para a prova): as derivadas laterais são
\left(f^{\prime}\right)^{+}(2)=3\qquad\text{e}\qquad\left(f^{\prime}\right)^{-}(2)=8.
Como os dois valores são diferentes, a derivada usual f'(2) não existe. Isso é típico em funções por partes quando os dois ramos têm inclinações diferentes no ponto de encaixe.

Resposta

\left(f^{\prime}\right)^{+}(2)=3
\left(f^{\prime}\right)^{-}(2)=8

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