Obtenha os vetores untários \vec{T}(t), \vec{N}(t) e a curvatura \kappa para as seguintes curvas
\vec{r}(t)=t \hat{i}+\frac{t^{2}}{2} \hat{j}+t^{2} \hat{k}

Passo 1

O enunciado fornece a curva
\vec{r}(t)=t\hat{i}+\frac{t^{2}}{2}\hat{j}+t^{2}\hat{k}
e pede três coisas: obter o vetor unitário tangente \vec{T}(t), o vetor unitário normal \vec{N}(t) e a curvatura \kappa(t).
Informações dadas que usaremos explicitamente:
  • As componentes de \vec{r}(t) são \,x(t)=t,\;y(t)=\dfrac{t^{2}}{2},\;z(t)=t^{2}\,.
  • Não há outras informações adicionais; tudo será obtido derivando as componentes e normalizando conforme as definições padrão.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas primeiras e segundas de \vec{r}(t). Lembrete didático: a derivada de um vetor de função é feita componente a componente. Então
\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{t^{2}}{2}\Bigr)\,\hat{j}+\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)\,\hat{k}.
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dt}(t)=1,\qquad \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{t^{2}}{2}\Bigr)=t,\qquad \frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=\hat{i}+t\hat{j}+2t\hat{k}.
Agora a segunda derivada (derivando \vec{r}\,'(t) componente a componente):
\vec{r}\,''(t)=\frac{d}{dt}(1)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}(t)\,\hat{j}+\frac{d}{dt}(2t)\,\hat{k}=0\cdot\hat{i}+1\cdot\hat{j}+2\cdot\hat{k}.
Logo
\vec{r}\,''(t)=0\hat{i}+1\hat{j}+2\hat{k}.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade (norma de \vec{r}\,'(t)), que chamarei de velocidade escalar v(t)=\lVert\vec{r}\,'(t)\rVert. Lembrete: a norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Aplicando:
\lVert\vec{r}\,'(t)\rVert=\sqrt{1^{2}+t^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{1+t^{2}+4t^{2}}=\sqrt{1+5t^{2}}.

Passo 4

Definição e cálculo do vetor unitário tangente \vec{T}(t). Lembrete didático: o vetor tangente unitário é a direção da velocidade normalizada,
\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\lVert\vec{r}\,'(t)\rVert}.
Substituindo os valores que já temos:
\vec{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+5t^{2}}}\bigl(\hat{i}+t\hat{j}+2t\hat{k}\bigr).
Isso significa que \vec{T}(t) tem direção do vetor (1,t,2t) e foi escalado para ter norma unitária.

Passo 5

Agora precisamos de \vec{T}\,'(t) para obter \vec{N}(t). Vamos derivar \vec{T}(t)=\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{-1/2}(1,t,2t). Lembrete: aqui usamos a regra do produto (derivada de escalar vezes vetor) e a derivada da função (1+5t^{2})^{-1/2}.
Calcule a derivada do fator escalar:
\frac{d}{dt}\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{-1/2}=-\tfrac{1}{2}\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot 10t=-5t\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{-3/2}.
Agora aplique a regra do produto:
\vec{T}\,'(t)=-5t\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{-3/2}(1,t,2t)+\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{-1/2}(0,1,2).
Para simplificar, fatoramos \bigl(1+5t^{2}\bigr)^{-3/2}:
\vec{T}\,'(t)=\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{-3/2}\Bigl[-5t(1,t,2t)+(1+5t^{2})(0,1,2)\Bigr].
Calculando o vetor dentro dos colchetes componente a componente:
-5t(1,t,2t)=(-5t,-5t^{2},-10t^{2}),
(1+5t^{2})(0,1,2)=(0,1+5t^{2},2+10t^{2}).
Somando:
(-5t+0,\;-5t^{2}+1+5t^{2},\;-10t^{2}+2+10t^{2})=(-5t,\,1,\,2).
Portanto a expressão simplificada é
\vec{T}\,'(t)=\frac{-5t\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}}{\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 6

Cálculo da norma de \vec{T}\,'(t). Lembrete: a norma de (-5t,1,2) é \sqrt{(-5t)^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{25t^{2}+1+4}=\sqrt{25t^{2}+5}. Então
\lVert\vec{T}\,'(t)\rVert=\frac{\sqrt{25t^{2}+5}}{\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{3/2}}.
Fatorando 5 em \sqrt{25t^{2}+5} obtemos \sqrt{5(5t^{2}+1)}=\sqrt{5}\,\sqrt{1+5t^{2}}. Assim
\lVert\vec{T}\,'(t)\rVert=\frac{\sqrt{5}\,\sqrt{1+5t^{2}}}{\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{\sqrt{5}}{1+5t^{2}}.

Passo 7

Definição e cálculo do vetor unitário normal \vec{N}(t). Lembrete didático: o vetor normal unitário é a direção de \vec{T}\,'(t) normalizada:
\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}\,'(t)}{\lVert\vec{T}\,'(t)\rVert}.
Substituindo \vec{T}\,'(t)=\dfrac{(-5t,1,2)}{(1+5t^{2})^{3/2}} e \lVert\vec{T}\,'(t)\rVert=\dfrac{\sqrt{5}}{1+5t^{2}}, temos
\vec{N}(t)=\frac{(-5t,1,2)}{(1+5t^{2})^{3/2}}\cdot\frac{1+5t^{2}}{\sqrt{5}}=\frac{-5t\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{5}\,\sqrt{1+5t^{2}}}.
Uma forma alternativa e compacta é
\vec{N}(t)=\frac{1}{\sqrt{5(1+5t^{2})}}\bigl(-5t\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\bigr).
Verificação rápida: a norma desse vetor é 1, como deve ser.

Passo 8

Cálculo da curvatura \kappa(t). Há duas fórmulas úteis; vou usar a relação entre \vec{T}\,' e \kappa:
\vec{T}\,'(t)=\kappa(t)\,\lVert\vec{r}\,'(t)\rVert\,\vec{N}(t)\quad\Rightarrow\quad \kappa(t)=\frac{\lVert\vec{T}\,'(t)\rVert}{\lVert\vec{r}\,'(t)\rVert}.
Substituindo \lVert\vec{T}\,'(t)\rVert=\dfrac{\sqrt{5}}{1+5t^{2}} e \lVert\vec{r}\,'(t)\rVert=\sqrt{1+5t^{2}} obtemos
\kappa(t)=\frac{\dfrac{\sqrt{5}}{1+5t^{2}}}{\sqrt{1+5t^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{3/2}}.
Observação didática: outra forma de chegar ao mesmo resultado é usar a fórmula \kappa=\dfrac{\lVert\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\rVert}{\lVert\vec{r}\,'\rVert^{3}}. Se for feita essa conta para esta curva, obtém-se \lVert\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\rVert=\sqrt{5}, e o mesmo \kappa aparece.

Resposta

\vec{T}(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+5t^{2}}}\bigl(\hat{i}+t\hat{j}+2t\hat{k}\bigr)
\vec{N}(t)=\dfrac{1}{\sqrt{5}\,\sqrt{1+5t^{2}}}\bigl(-5t\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\bigr)
\kappa(t)=\dfrac{\sqrt{5}}{\bigl(1+5t^{2}\bigr)^{3/2}}

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