Obtenha os vetores untários
e a curvatura
para as seguintes curvas
Passo 1
O enunciado fornece a curva
e pede três coisas: obter o vetor unitário tangente
, o vetor unitário normal
e a curvatura
.
Informações dadas que usaremos explicitamente:
Informações dadas que usaremos explicitamente:
- As componentes de
são . - Não há outras informações adicionais; tudo será obtido derivando as componentes e normalizando conforme as definições padrão.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas primeiras e segundas de
. Lembrete didático: a derivada de um vetor de função é feita componente a componente. Então
Calculando cada derivada:
Portanto
Agora a segunda derivada (derivando
componente a componente):
Logo
Passo 3
Agora calculamos a velocidade (norma de
), que chamarei de velocidade escalar
. Lembrete: a norma de um vetor
é
. Aplicando:
Passo 4
Definição e cálculo do vetor unitário tangente
. Lembrete didático: o vetor tangente unitário é a direção da velocidade normalizada,
Substituindo os valores que já temos:
Isso significa que
tem direção do vetor
e foi escalado para ter norma unitária.
Passo 5
Agora precisamos de
para obter
. Vamos derivar
. Lembrete: aqui usamos a regra do produto (derivada de escalar vezes vetor) e a derivada da função
.
Calcule a derivada do fator escalar:
Agora aplique a regra do produto:
Para simplificar, fatoramos
:
Calculando o vetor dentro dos colchetes componente a componente:
Somando:
Portanto a expressão simplificada é
Passo 6
Cálculo da norma de
. Lembrete: a norma de
é
. Então
Fatorando
em
obtemos
. Assim
Passo 7
Definição e cálculo do vetor unitário normal
. Lembrete didático: o vetor normal unitário é a direção de
normalizada:
Substituindo
e
, temos
Uma forma alternativa e compacta é
Verificação rápida: a norma desse vetor é
, como deve ser.
Passo 8
Cálculo da curvatura
. Há duas fórmulas úteis; vou usar a relação entre
e
:
Substituindo
e
obtemos
Observação didática: outra forma de chegar ao mesmo resultado é usar a fórmula
. Se for feita essa conta para esta curva, obtém-se
, e o mesmo
aparece.