Obtenha o volume do sólido delimitado pelos parabolóides e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre os parabolóides e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, já que temos simetria circular nos parabolóides.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde esses dois parabolóides se encontram. Isso acontece quando é igual nos dois, ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar a região de interseção.
Passo 3
Simplificando a equação:
Dividindo tudo por 4:
Então, a interseção ocorre dentro do círculo de raio 1 no plano .
Passo 4
Agora que sabemos a região de integração é um círculo de raio 1, vamos passar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , e a área elementar .
Passo 5
A diferença entre os dois parabolóides nos dá a altura do sólido em cada ponto:
Simplificando:
Em coordenadas polares, isso fica:
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para encontrar o volume: