Obtenha o volume do sólido delimitado pelos parabolóides z=x^2+y^2 e z=4-3 x^2-3 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre os parabolóides z = x^2 + y^2 e z = 4 - 3x^2 - 3y^2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, já que temos simetria circular nos parabolóides.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde esses dois parabolóides se encontram. Isso acontece quando z é igual nos dois, ou seja:
x^2 + y^2 = 4 - 3x^2 - 3y^2
Vamos resolver essa equação para encontrar a região de interseção.

Passo 3

Simplificando a equação:
x^2 + y^2 + 3x^2 + 3y^2 = 4
4x^2 + 4y^2 = 4
Dividindo tudo por 4:
x^2 + y^2 = 1
Então, a interseção ocorre dentro do círculo de raio 1 no plano xy .

Passo 4

Agora que sabemos a região de integração é um círculo de raio 1, vamos passar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta , e a área elementar dA = r,dr,dtheta .

Passo 5

A diferença entre os dois parabolóides nos dá a altura do sólido em cada ponto:
zsuperior - zinferior = (4 - 3x^2 - 3y^2) - (x^2 + y^2)
Simplificando:
4 - 4x^2 - 4y^2
Em coordenadas polares, isso fica:
4 - 4r^2

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para encontrar o volume:
V = integral0^2pi integral0^1 (4 - 4r^2) cdot r,dr,dtheta
Aqui, r varia de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi .

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em r :
integral0^1 (4r - 4r^3),dr
Integrando termo a termo:
4 cdot r^22 - 4 cdot r^44 |0^1 = 2r^2 - r^4 |0^1
Substituindo 1:
2(1) - (1) = 1

Passo 8

Agora, integramos em theta :
V = integral0^2pi 1,dtheta = 2pi

Resposta

O volume do sólido é 2pi unidades cúbicas.

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