Obtenhas as equações da transformações de Lorentz para dois sistemas de referência
e
um em movimento em relação ao outro com velocidade
Passo 1
O que o enunciado pede: obter as equações da transformação de Lorentz entre dois referenciais
e
em configuração padrão (um se movendo em relação ao outro com velocidade
ao longo do eixo
).
Informações e condições dadas (assumidas como padrão e necessárias para resolver):
Informações e condições dadas (assumidas como padrão e necessárias para resolver):
- O referencial
move-se em relação a com velocidade ao longo do eixo . - As origens coincidem em
e (ou seja, quando temos ). - O objetivo é achar as fórmulas que relacionam
em com em . - A velocidade da luz
é a mesma em todos os referenciais (princípio da constância da velocidade da luz).
Nada mais será assumido sem explicação; a resolução começa agora.
Passo 2
Por que podemos procurar uma transformação linear?
Explicação didática: como os referenciais são inerciais e o espaço-tempo é homogêneo e isotrópico (não há pontos privilegiados nem instantes privilegiados), a transformação entre coordenadas deve ser linear em e
(se fosse não linear, haveria dependência de posição/tempo absoluta). Além disso, o movimento relativo é uniforme (velocidade constante
), então procuramos transformações lineares. Portanto tomamos formas lineares gerais compatíveis com o movimento da origem de
.
Explicação didática: como os referenciais são inerciais e o espaço-tempo é homogêneo e isotrópico (não há pontos privilegiados nem instantes privilegiados), a transformação entre coordenadas deve ser linear em
Passo 3
Escolhemos formas simples usando a condição que a origem de
move-se com
em
:
Raciocínio: a origem de tem
e em
ela tem
. Logo
quando
. Isso sugere que
é proporcional a
. Assim propomos:
Raciocínio: a origem de
onde
é uma constante (ainda a determinar e que pode depender de
e
).
Também, por simetria e por causa da “relatividade da simultaneidade”, pode depender de
e de
. Tomamos a forma linear mais simples compatível com dimensões:
Também, por simetria e por causa da “relatividade da simultaneidade”,
onde
é outra constante a determinar. (Escolhemos o sinal
em
porque, qualitativamente, eventos com
adiantam ou atrasam
dependendo do sentido de
; o sinal será confirmado ao longo da dedução.)
Explicação: o fator aparece por razões de dimensão (para somar
e algo proporcional a
temos de dividir por velocidade ao quadrado) e também porque a teoria relativística conecta tempo e espaço com
.
Explicação: o fator
Passo 4
Usamos a constância da velocidade da luz para relacionar
e
.
Raciocínio passo a passo: considere um pulso de luz que parte da origem em . Em
a equação desse pulso é
(raio indo para a direita). Em qualquer referencial inercial deve valer
. Substituímos
nas formas propostas:
Raciocínio passo a passo: considere um pulso de luz que parte da origem em
Exigimos
, então
Como isso deve valer para qualquer
, simplificamos
e manipulamos o lado direito:
Como
(salvo caso degenerado
, que não consideramos aqui), obtemos
Portanto as constantes são iguais; chamaremos essa constante de
(nome usual). Assim as transformações assumem a forma
Passo 5
Determinamos
impondo coerência matemática (inversibilidade e simetria).
Raciocínio: a transformação inversa (voltando de para
) tem a mesma estrutura, trocando
por
(princípio da relatividade — não existe referencial privilegiado). Logo a inversa deve ser
Raciocínio: a transformação inversa (voltando de
Agora compomos a transformação direta seguida da inversa e exigimos que o resultado seja a identidade (ou seja, aplicando direta e depois inversa recuperamos as coordenadas originais). Vamos compor explicitamente para a coordenada
:
Substituímos
e
das expressões diretas na expressão inversa:
Fatorando
:
Distribuindo os termos dentro do parêntese:
Portanto deve valer
Para que esta igualdade seja verdadeira para todo
precisamos de
Isolando
obtemos a expressão conhecida:
Passo 6
Escrevemos as transformações finais com
explícito e completamos com as coordenadas transversais
.
Resultado e interpretação: as componentes transversais e
não mudam porque o movimento relativo é ao longo do eixo
(homogeneidade e isotropia espacial implicam que alongamentos só aparecem na direção do movimento). Assim as transformações finais são:
Resultado e interpretação: as componentes transversais
com
Passo 7
Comentário final e intuição física curta (didática):
- O fator
cresce quando se aproxima de ; isso codifica dilatação do tempo e contração do comprimento na direção do movimento. - A presença do termo
em mostra que simultaneidade é relativa: eventos que são simultâneos em ( igual) não são necessariamente simultâneos em . - A inversa da transformação é obtida trocando
nas fórmulas acima.
Resposta
com