Obtenhas as equações da transformações de Lorentz para dois sistemas de referência S e S^{\prime} um em movimento em relação ao outro com velocidade u
x^{\prime}=\frac{x-u t}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}} \rightarrow x^{\prime}=\gamma(x-u t)
y^{\prime}=y
z^{\prime}=z
t^{\prime}=\frac{t+x u / c^{2}}{\sqrt{1-u^{2} / c^{2}}} \rightarrow t^{\prime}=\gamma\left(t+x u / c^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: obter as equações da transformação de Lorentz entre dois referenciais S e S' em configuração padrão (um se movendo em relação ao outro com velocidade u ao longo do eixo x).
Informações e condições dadas (assumidas como padrão e necessárias para resolver):
  • O referencial S' move-se em relação a S com velocidade \;u\; ao longo do eixo x.
  • As origens coincidem em t=0 e t'=0 (ou seja, quando t=t'=0 temos x=x'=0).
  • O objetivo é achar as fórmulas que relacionam (x,y,z,t) em S com (x',y',z',t') em S'.
  • A velocidade da luz \;c\; é a mesma em todos os referenciais (princípio da constância da velocidade da luz).
    Nada mais será assumido sem explicação; a resolução começa agora.

Passo 2

Por que podemos procurar uma transformação linear?
Explicação didática: como os referenciais são inerciais e o espaço-tempo é homogêneo e isotrópico (não há pontos privilegiados nem instantes privilegiados), a transformação entre coordenadas deve ser linear em x e t (se fosse não linear, haveria dependência de posição/tempo absoluta). Além disso, o movimento relativo é uniforme (velocidade constante u), então procuramos transformações lineares. Portanto tomamos formas lineares gerais compatíveis com o movimento da origem de S'.

Passo 3

Escolhemos formas simples usando a condição que a origem de S' move-se com x=ut em S:
Raciocínio: a origem de S' tem x'=0 e em S ela tem x=ut. Logo x'=0 quando x=ut. Isso sugere que x' é proporcional a x-ut. Assim propomos:
x' = A\,(x - u t)
onde A é uma constante (ainda a determinar e que pode depender de u e c).
Também, por simetria e por causa da “relatividade da simultaneidade”, t' pode depender de t e de x. Tomamos a forma linear mais simples compatível com dimensões:
t' = B\!\left(t - \frac{u}{c^{2}} x\right)
onde B é outra constante a determinar. (Escolhemos o sinal - em \frac{u}{c^{2}}x porque, qualitativamente, eventos com x>0 adiantam ou atrasam t' dependendo do sentido de u; o sinal será confirmado ao longo da dedução.)
Explicação: o fator 1/c^2 aparece por razões de dimensão (para somar t e algo proporcional a x temos de dividir por velocidade ao quadrado) e também porque a teoria relativística conecta tempo e espaço com c.

Passo 4

Usamos a constância da velocidade da luz para relacionar A e B.
Raciocínio passo a passo: considere um pulso de luz que parte da origem em t=0. Em S a equação desse pulso é \;x = c t\; (raio indo para a direita). Em qualquer referencial inercial deve valer \;x' = c t'\;. Substituímos x=ct nas formas propostas:
x' = A\,(c t - u t) = A\,t\,(c - u)
t' = B\!\left(t - \frac{u}{c^{2}}(c t)\right) = B\,t\!\left(1 - \frac{u}{c}\right)
Exigimos x' = c t', então
A\,t\,(c - u) = c \cdot B\,t\!\left(1 - \frac{u}{c}\right).
Como isso deve valer para qualquer t, simplificamos t e manipulamos o lado direito:
A\,(c - u) = c B \left(1 - \frac{u}{c}\right) = c B \cdot \frac{c-u}{c} = B\,(c - u).
Como c-u \neq 0 (salvo caso degenerado u=c, que não consideramos aqui), obtemos
A = B.
Portanto as constantes são iguais; chamaremos essa constante de \gamma (nome usual). Assim as transformações assumem a forma
x' = \gamma (x - u t), \qquad t' = \gamma \!\left(t - \frac{u}{c^{2}} x\right).

Passo 5

Determinamos \gamma impondo coerência matemática (inversibilidade e simetria).
Raciocínio: a transformação inversa (voltando de S' para S) tem a mesma estrutura, trocando u por -u (princípio da relatividade — não existe referencial privilegiado). Logo a inversa deve ser
x = \gamma (x' + u t'), \qquad t = \gamma \!\left(t' + \frac{u}{c^{2}} x'\right).
Agora compomos a transformação direta seguida da inversa e exigimos que o resultado seja a identidade (ou seja, aplicando direta e depois inversa recuperamos as coordenadas originais). Vamos compor explicitamente para a coordenada x:
Substituímos x' e t' das expressões diretas na expressão inversa:
x = \gamma\bigl(x' + u t'\bigr) = \gamma\Bigl(\gamma(x - u t) + u\,\gamma\!\left(t - \frac{u}{c^{2}}x\right)\Bigr).
Fatorando \gamma^2:
x = \gamma^{2}\Bigl((x - u t) + u\Bigl(t - \frac{u}{c^{2}}x\Bigr)\Bigr).
Distribuindo os termos dentro do parêntese:
x = \gamma^{2}\Bigl(x - u t + u t - \frac{u^{2}}{c^{2}} x\Bigr) = \gamma^{2}\Bigl(x\Bigl(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\Bigr)\Bigr).
Portanto deve valer
x = \gamma^{2}\Bigl(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\Bigr)\,x.
Para que esta igualdade seja verdadeira para todo x precisamos de
\gamma^{2}\Bigl(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\Bigr) = 1.
Isolando \gamma obtemos a expressão conhecida:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.

Passo 6

Escrevemos as transformações finais com \gamma explícito e completamos com as coordenadas transversais y,z.
Resultado e interpretação: as componentes transversais y e z não mudam porque o movimento relativo é ao longo do eixo x (homogeneidade e isotropia espacial implicam que alongamentos só aparecem na direção do movimento). Assim as transformações finais são:
x' = \gamma (x - u t), \qquad y' = y, \qquad z' = z, \qquad t' = \gamma \!\left(t - \frac{u}{c^{2}} x\right),
com
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.

Passo 7

Comentário final e intuição física curta (didática):
  • O fator \gamma cresce quando u se aproxima de c; isso codifica dilatação do tempo e contração do comprimento na direção do movimento.
  • A presença do termo -\dfrac{u}{c^{2}}x em t' mostra que simultaneidade é relativa: eventos que são simultâneos em S ( t igual) não são necessariamente simultâneos em S'.
  • A inversa da transformação é obtida trocando u \to -u nas fórmulas acima.

Resposta

x'=\gamma\,(x-u t)
y'=y
z'=z
t'=\gamma\!\left(t-\dfrac{u}{c^{2}}x\right)
com \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.

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