Sendo o trabalho relativístico dado por:
W=\int_{0}^{v} \frac{m v_{x} d v_{x}}{\left(1-v_{x}^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}}
Mostre que a energia cinética relativística é dada por:
W=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v_{x}^{2} / c^{2}}}-m c^{2}

Passo 1

O enunciado dá o trabalho relativístico como
W=\int_{0}^{v} \frac{m v_{x}\, d v_{x}}{\left(1-v_{x}^{2} / c^{2}\right)^{3 / 2}}
e pede para mostrar que a energia cinética relativística é
W=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v_{x}^{2} / c^{2}}}-m c^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{integrando em }v_{x}\text{, constante }m\text{ (massa) e }c\text{ (velocidade da luz).}
Pergunta clara: calcular a integral dada e simplificar para obter a forma indicada.

Passo 2

Vamos observar uma função muito útil que aparece aqui: o fator de Lorentz (ou gamma), definido por
\gamma(v_{x})=\frac{1}{\sqrt{1-v_{x}^{2}/c^{2}}}.
Vou calcular a derivada de \gamma(v_{x}) em relação a v_{x} — isso ajuda porque o integrando tem uma potência (1-v_{x}^{2}/c^{2})^{-3/2}. Use a regra da cadeia para derivar \gamma:
\frac{d}{d v_{x}}\left(1-v_{x}^{2}/c^{2}\right)^{-1/2} = -\tfrac{1}{2}\left(1-v_{x}^{2}/c^{2}\right)^{-3/2}\cdot\left(-\frac{2 v_{x}}{c^{2}}\right).
Simplificando os sinais e constantes obtemos
\frac{d\gamma}{d v_{x}}=\frac{v_{x}}{c^{2}}\left(1-v_{x}^{2}/c^{2}\right)^{-3/2}.
Aqui expliquei cada passo: derivei a potência -1/2, multipliquei pelo derivado interno -2v_{x}/c^{2} e simplifiquei.

Passo 3

Multiplico a expressão da derivada por m c^{2} para comparar com o integrando:
m c^{2}\frac{d\gamma}{d v_{x}} = m c^{2}\cdot\frac{v_{x}}{c^{2}}\left(1-v_{x}^{2}/c^{2}\right)^{-3/2}.
Cortando c^{2} no numerador e denominador resulta
m c^{2}\frac{d\gamma}{d v_{x}}=\frac{m v_{x}}{\left(1-v_{x}^{2}/c^{2}\right)^{3/2}}.
Perceba que o lado direito é exatamente o integrando da integral do enunciado. Esse reconhecimento é a chave: o integrando é a derivada de \gamma multiplicada por m c^{2}.

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior, reescrevemos a integral como
W=\int_{0}^{v}\frac{m v_{x}\, d v_{x}}{\left(1-v_{x}^{2}/c^{2}\right)^{3/2}} = \int_{0}^{v} m c^{2}\frac{d\gamma}{d v_{x}}\, d v_{x}.
Agora podemos trocar a integração em v_{x} por integração em \gamma (ou simplesmente integrar diretamente reconhecendo que d\gamma = \frac{d\gamma}{d v_{x}}\,dv_{x}):
W=m c^{2}\int_{\gamma(0)}^{\gamma(v)} d\gamma = m c^{2}\bigl(\gamma(v)-\gamma(0)\bigr).
Calculemos os limites: quando v_{x}=0 temos \gamma(0)=\dfrac{1}{\sqrt{1-0}}=1. E \gamma(v)=\dfrac{1}{\sqrt{1-v_{x}^{2}/c^{2}}} no limite superior.

Passo 5

Substituindo \gamma(v) e \gamma(0) na expressão do passo anterior:
W=m c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v_{x}^{2}/c^{2}}}-1\right).
Arrumando a escrita obtemos exatamente
W=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v_{x}^{2} / c^{2}}}-m c^{2}.
Isso mostra que a energia cinética relativística é m c^{2}(\gamma-1), que é a energia total menos a energia de repouso m c^{2}. Força intuitiva: quando v_{x} vai para zero, W\to 0; quando v_{x} cresce muito, \gamma cresce e W cresce sem limite.

Passo 6

Como reforço prático (opcional), mostro uma verificação por substituição direta: faça u=1-v_{x}^{2}/c^{2}. Então
du=-\frac{2 v_{x}}{c^{2}}\,dv_{x}\quad\Rightarrow\quad v_{x}\,dv_{x}=-\frac{c^{2}}{2}\,du.
A integral fica
W=m\int_{u(0)=1}^{u(v)=1-v^{2}/c^{2}}\frac{-\frac{c^{2}}{2}\,du}{u^{3/2}} = -\frac{m c^{2}}{2}\int_{1}^{1-v^{2}/c^{2}} u^{-3/2}\,du.
Como \int u^{-3/2}du = -2u^{-1/2}, avaliando os limites:
W=-\frac{m c^{2}}{2}\left[-2 u^{-1/2}\right]_{1}^{1-v^{2}/c^{2}} = m c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}-1\right),
o que coincide com o resultado anterior. Isso confirma por um método alternativo.

Resposta

W=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v_{x}^{2} / c^{2}}}-m c^{2}

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