Sendo o trabalho relativístico dado por:
Mostre que a energia cinética relativística é dada por:
Passo 1
O enunciado dá o trabalho relativístico como
e pede para mostrar que a energia cinética relativística é
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta clara: calcular a integral dada e simplificar para obter a forma indicada.
Passo 2
Vamos observar uma função muito útil que aparece aqui: o fator de Lorentz (ou gamma), definido por
Vou calcular a derivada de
em relação a
— isso ajuda porque o integrando tem uma potência
. Use a regra da cadeia para derivar
:
Simplificando os sinais e constantes obtemos
Aqui expliquei cada passo: derivei a potência
, multipliquei pelo derivado interno
e simplifiquei.
Passo 3
Multiplico a expressão da derivada por
para comparar com o integrando:
Cortando
no numerador e denominador resulta
Perceba que o lado direito é exatamente o integrando da integral do enunciado. Esse reconhecimento é a chave: o integrando é a derivada de
multiplicada por
.
Passo 4
Usando o resultado do passo anterior, reescrevemos a integral como
Agora podemos trocar a integração em
por integração em
(ou simplesmente integrar diretamente reconhecendo que
):
Calculemos os limites: quando
temos
. E
no limite superior.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão do passo anterior:
Arrumando a escrita obtemos exatamente
Isso mostra que a energia cinética relativística é
, que é a energia total menos a energia de repouso
. Força intuitiva: quando
vai para zero,
; quando
cresce muito,
cresce e
cresce sem limite.
Passo 6
Como reforço prático (opcional), mostro uma verificação por substituição direta: faça
. Então
A integral fica
Como
, avaliando os limites:
o que coincide com o resultado anterior. Isso confirma por um método alternativo.