Obter as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

A questão pede a derivada da função y=raiz[5]e^2x. O conteúdo aqui é derivação de função composta, e vamos precisar usar a regra da cadeia combinada com a derivada de exponencial.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções envolvidas na composição: u(x)=e^2x é a função interna, e y(u)=u^1/5 é a função externa.
Aplicamos a regra da cadeia, que diz que y'=y'ucdot u'(x). Para a externa temos
y'u=15u^-4/5
e para a interna temos
u'(x)=(e^2x)'=2e^2x

Passo 3

Agora multiplicamos e simplificamos:
y'=15u^-4/5cdot 2e^2x=25(e^2x)^-4/5cdot e^2x

Passo 4

Elevando e^2x ao expoente -4/5 e somando com o +1 (que vem de e^2x=e^2xcdot1), obtemos
y'=25e^2x(1-tfrac45)=25e^tfrac2x5

Resposta

y'=25e^tfrac2x5

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