3^{\underline{a}} Questão (8 pts) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da região entre as curvas curvas y=x^{\frac{1}{2}} e y=x^{\frac{1}{3}}, entre x=0 e x=1.
Resposta:

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada pelas curvas y=x^{1/2} e y=x^{1/3} para 0\le x\le1. Vamos usar o método dos discos com furo (washers), que é apropriado quando a região não toca o eixo de rotação.

Passo 2

Pelo método dos discos com furo, o volume é
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr)\,dx,
onde R(x) é o raio maior (distância do eixo até a curva mais alta) e r(x) é o raio menor (distância até a curva mais baixa).

Passo 3

Em [0,1] temos x^{1/3}\ge x^{1/2}. Logo
R(x) = x^{1/3}, \quad r(x) = x^{1/2}
e
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl((x^{1/3})^2 - (x^{1/2})^2\bigr)\,dx = \pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{2/3} - x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos as integrais separadamente:
\int_{0}^{1} x^{2/3}\,dx = \bigl[\tfrac{3}{5}x^{5/3}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{3}{5},
\int_{0}^{1} x\,dx = \bigl[\tfrac{1}{2}x^2\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Portanto
V = \pi\Bigl(\tfrac{3}{5} - \tfrac{1}{2}\Bigr) = \pi\Bigl(\tfrac{6}{10} - \tfrac{5}{10}\Bigr) = \tfrac{\pi}{10}.

Resposta

\tfrac{\pi}{10}

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